Weekend Mathematicsコロキウム室テーマ別/26.ヘロンの三角形



コロキウム室(ヘロンの三角形)


NO.557 '99 7/5水の流れヘロンの三角形(1)

第21回数学的な応募問題

太郎さんは、高校で三角形の面積を求めるのに、 ヘロンの公式を教えています。 そこで、3辺の長さとその面積がともに整数となる三角形を ヘロンの三角形と言います。 だから、この性質を持つ三角形を知っていたいと、思っていました。 ここで、特に、3辺の長さが連続する3つの自然数の場合を考えます。

問題1:
=3y+1(一つのペル方程式) である、負でない整数解(x、y)を求めてください。 一部の特殊解でも良いですし、一般解でも良いです。

問題2:
3辺の長さが連続する3つの自然数で、 その面積も整数である三角形の例をいくつか、 考えてください。

太郎さんも童心にかえって、いろいろと数字を順に変えて、 考えていましたが、 なかなかうまくいきません。 皆さんも、考えてください。 



NO.558 '99 7/6kiyoヘロンの三角形(2)

  1. (X=2,Y=1), (X=7,Y=4),・・・

    一般には次の式で与えられます。



  2. 簡単なベーシックのプログラムを組んでいくつか例を出して数列サイトでカンニングしました。
     
      FOR I=1 TO 100000
         FOR J=I+1 TO I+1
            FOR K=J+1 TO J+1
               LET  S=(I+J+K)/2
               LET  S1=(S*(S-I)*(S-J)*(S-K))^0.5  ヘロンの公式
               LET  S2=INT(S1)
               LET  S3=S1-S2
               IF S3=0 THEN PRINT I;J;K;S1 条件を満たす3辺と面積
            NEXT K
         NEXT J
      NEXT I
    END
    


    辺 a辺 b辺 c面積
    13141584
    5152531170
    19319419516296
    723724725226974
    2701270227033161340
    10083100841008544031786
    376333763437635613283664


     1番短い辺をH(n)とする。 漸化式は、
    H(1)=3,H(2)=13
    H(n)=4×H(n−1)−H(n−2)+2 となっていました。
    H(3)=4×13−3+2=51
    H(4)=4×51−13+2=193




NO.562 '99 7/8Junkoヘロンの三角形(3)

三角形の三辺の長さをa,b,cとしたときに面積Sを与える次の式を、 へロンの公式と呼んでいます。



さてここで、三角形の3辺は連続した自然数ということですから、 b−1,b,b+1とします。



面積Sが整数となるためには、bは遇数である必要があります。 そこで、b=2kとおきます。(kは正の整数)



kはもちろん正の整数ですから、これで問題1の方程式x=3y+1に帰着されたわけです。
NO.558で、「kiyo」さんが求めてくださった解を2,3代入してみます。





NO.564 '99 7/9kiyoヘロンの三角形(4)

ヘロンの三角形の一般式。
三辺を、B−1,B,B+1とする。 漸化式は、 B(n)=4・B(n−1)−B(n)
特性方程式は、X−4X+1=0



他の2辺はプラス、マイナス1となる。



NO.565 '99 7/9Junkoヘロンの三角形(5)

NO.558
x=2,y=1, から、 (x,y)の一般項を出してみます。



行列のn乗の計算についてここでは省略させてください。
計算間違いをしていないといいのですが・・・。



NO.566 '99 7/10数楽者ヘロンの三角形(6)

コロキウムNO.558の1について これは3の平方根の有理数による近似です。



少なくとも私はそのように理解しています。



戻る