コロキウム室(特製のサイコロ)

第２０回数学的な応募問題

太郎さんには、中学校に通っている子供がいます。 先日、学校で数学の授業に、折り紙でサッカーボールを 作ったり、正八面体や正十二面体の模型を厚紙で作ってきました。
そのとき、立方体の展開図を作ってきて、各面に正の整数を書き入れて、 ２つのサイコロを作る宿題がありました。 ただし、２個のサイコロを投げたとき、目の和の出方が普通のサイコロと同じようで あるような特製のサイコロということでした。 ここで、普通のサイコロとは当然１から６までの整数が目としてあるものです。 だから、２つのサイコロは同一ある必要はないですし、その目が６以下である必要もない。 また、すべて異なる目である必要もありません。

問題１：普通の２個のサイコロを投げて、目の和の出方を考えてください。

問題２：今、オイラーの業績について、いろいろ研究しています。 このオイラーの偉大なアイディアは、 整数の性質を調べるのにベキ級数を使ったことです。
そのアイディアは、整数ａとｂとを加えることが累乗 ｘ^ａとｘ^ｂを掛けることに対応することにあります。 そこで、次の整式を展開して係数をみてください。

（ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋ｘ^５＋ｘ^６）^２

問題３：上の事実を利用して、宿題の特製のサイコロの展開図に、正の整数を入れてください。

太郎さんも童心にかえって、いろいろと数字を書いていましたが、なかなかうまくいきません。 皆さんも、考えてください。　

問題１

	１	２	３	４	５	６
１	２	３	４	５	６	７
２	３	４	５	６	７	８
３	４	５	６	７	８	９
４	５	６	７	８	９	１０
５	６	７	８	９	１０	１１
６	７	８	９	１０	１１	１２

問題２

（ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６）２

＝（ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６）・ （ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６）

＝（ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ７）＋ （ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ７＋ｘ８）＋ （ｘ４＋ｘ５＋・・・）＋・・・

ここに現れてくる指数は上の表とまったく同じ！になります。

問題３

２つのさいころの和として同じものを期待するならば、 この結果を変えずに(項数６の整式)・(項数６の整式)の別な組み合わせを探せばいいのではないかと考えました。

＝（ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６）・ （ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６）

＝ｘ（１＋ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５）・ ｘ（１＋ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５）

＝（１＋ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５）・ （ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ７）

すぐにこのやり方が思い浮かびます。
２つのさいころは指数を読んでいけばいいので、「０，１，２，３，４，５」と「２，３，４，５，６，７」です。
しかしながらこれは片方を減らして片方を増やす、和としては一定。 自明だけれど、おもしろくない、第一０はだめですし・・・。（問題の作成者はその辺をよくわかっていらっしゃる。）
そこで、ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋ｘ^５＋ｘ^６ の因数分解を考えました。
項数６（６＝２×３の合成数）のこの式は次のように分解できます。
ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋ｘ^５＋ｘ^６ ＝ｘ（１＋ｘ＋ｘ^２）（１＋ｘ^３）

ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋ｘ^５＋ｘ^６ ＝ｘ（１＋ｘ）（１＋ｘ^２＋ｘ^４）

どちらも完全な因数分解ではありませんが、ｘ・（項数２）・（項数３）という形に２通りの分解ができるという ところがミソです。 これを組み替えて、（項数６）・（項数６）という形を作ります。

＝（ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６）・ （ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６）

＝ｘ（１＋ｘ＋ｘ２）（１＋ｘ３）・ｘ（１＋ｘ）（１＋ｘ２＋ｘ４）

＝ｘ（１＋ｘ＋ｘ２）（１＋ｘ）・ｘ（１＋ｘ３）（１＋ｘ２＋ｘ４）

＝（ｘ＋２ｘ２＋２ｘ３＋ｘ４）・ （ｘ＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ８）

＝（ｘ＋ｘ２＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ３＋ｘ４）・ （ｘ＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ８）

というわけで２つのさいころを、「１，２，２，３，３，４」と「１，３，４，５，６，８」とすればいいということがわかります。
和を表にしたものを下に示します。

	１	３	４	５	６	８
１	２	４	５	６	７	９
２	３	５	６	７	８	１０
２	３	５	６	７	８	１０
３	４	６	７	８	９	１１
３	４	６	７	８	９	１１
４	５	７	８	９	１０	１２

特製のサイコロは面の数が偶数の場合に拡張できますね。 ８面体の場合は解が複数あります。

正８面体のサイコロについて、特製サイコロを具体的に作ってみようと思います。

NO.551でやったのと同じように、
ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４ ＋ｘ^５＋ｘ^６＋ｘ^７＋ｘ^８ の因数分解を考えます。

ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４ ＋ｘ^５＋ｘ^６＋ｘ^７＋ｘ^８ ＝ｘ（１＋ｘ）（１＋ｘ^２）（１＋ｘ^４）
と因数分解できますので、ｘ・（項数２）・（項数４）という変形が３通り考えられます。

ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４ ＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ７＋ｘ８	＝ｘ（１＋ｘ＋ｘ２＋ｘ３）（１＋ｘ４）・・・（１）
	＝ｘ（１＋ｘ２＋ｘ４＋ｘ６）（１＋ｘ）・・・（２）
	＝ｘ（１＋ｘ＋ｘ４＋ｘ５）（１＋ｘ２）・・・（３）

これを組み替えて、（項数８）・（項数８）という形を_３Ｃ_２＝３通り作れると思います。
（１）、（２）の組み合わせで特製サイコロを作ってみます。

＝（ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ７＋ｘ８）・ （ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ７＋ｘ８）

＝ｘ（１＋ｘ＋ｘ２＋ｘ３）（１＋ｘ４）・ ｘ（１＋ｘ２＋ｘ４＋ｘ６）（１＋ｘ）

＝ｘ（１＋ｘ＋ｘ２＋ｘ３）（１＋ｘ）・ ｘ（１＋ｘ２＋ｘ４＋ｘ６）（１＋ｘ４）

＝（ｘ＋２ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＋ｘ５）・ （ｘ＋ｘ３＋２ｘ５＋２ｘ７＋ｘ９＋ｘ１１）

＝（ｘ＋ｘ２＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ４＋ｘ５）・ （ｘ＋ｘ３＋ｘ５＋ｘ５＋ｘ７＋ｘ７＋ｘ９＋ｘ１１）

というわけで２つのさいころを、「１，２，２，３，３，４，４，５」と「１，３，５，５，７，７，９，１１」とすればいいということがわかります。
和を表にしたものを下に示します。 右に、普通の正８面体サイコロの表を並べておきます。

１ ３ ５ ５ ７ ７ ９ １１ １ ２ ４ ６ ６ ８ ８ １０ １２ ２ ３ ５ ７ ７ ９ ９ １１ １３ ２ ３ ５ ７ ７ ９ ９ １１ １３ ３ ４ ６ ８ ８ １０ １０ １２ １４ ３ ４ ６ ８ ８ １０ １０ １２ １４ ４ ５ ７ ９ ９ １１ １１ １３ １５ ４ ５ ７ ９ ９ １１ １１ １３ １５ ５ ６ ８ １０ １０ １２ １２ １４ １６

１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６