コロキウム室(ダーツの確率)

NO.462　　　　'99 5/5 　　 水の流れ 　　　ダーツの確率
　　

第１５回数学的な応募問題

太郎さんのお子さんは中学生です。次のような問題をもらって来ました。

1. 三角形ＡＢＣにおいて、点Ａから辺ＢＣに垂線ＡＨを引きます。 このとき、三角形ＡＢＣの外接円の半径を、２辺の長さＡＢ，ＡＣと 垂線の長さＡＨで表しなさい。（図１参照）
   
2. ある円において、点Ｐで直角に交わっている図２のような２本の弦ＡＣ、 ＢＤがあります。このとき、ＡＰ＝２，ＢＰ＝４，ＣＰ＝３でした。 この円の半径を求めなさい。（図２参照）
   
3. ある円において、点Ｐで直角に交わっている図３のような２本の弦ＡＣ、 ＢＤがあります。このとき、ＡＰ＝ａ，ＢＰ＝ｂ，ＣＰ＝ｃ，ＤＰ＝ｄでした。 この円の半径を ａ，ｂ，ｃ，ｄを用いて表しなさい。（図３参照）
   
   

   
   

   太郎さんは、先日のゴールデンウイークにある電気店の大売り出しに 行って来ました。ここで、問題です。
   
   

4. この電気店では、当たりとはずれの場所が図４のような丸い的で ダーツ競技を行っていました。 的内の任意の点Ｐで交わる４本の弦を引き、 的を８つの部分に分けてありました。 ただし、４本の弦はそれぞれ４５度で交わっていました。 この８つの部分を交互に赤と白に４つに塗り分けてありました。 赤が当たりで、白がはずれです。 当たりである確率求めてください。

太郎さんは童心にかえって、ダーツ競技を楽しんでいましたが、 当たりとはずれの確率が気になってしかたがありません。 皆さんも、考えてください。　

NO.465　　　　'99 5/8 　　 Junko 　　　 ダ−ツの確率（２）
　　

NO.462の 「ダ−ツの確率」についてとりあえず３番まで。

円の４分割は任意ですから、これもまたおもしろい結果だなあと思うのです。

この問題についてず−っと考えていました。
確率は1/2だそうなあ、と見当をつけていましたが、 はっきりとした根拠を示せずにいました。
また、NO.465で１〜３までの ヒントに対する解答は得られたのですが、それがどうして４につながっていくのか わかりませんでした。
幸いにして、このコロキウム室で極座標系による積分を話題にしていくうちに、 だんだんと道が開けてきました。
今日またこの問題を考えていて、「わかった！」と叫んでしまいました。
もやもやしていた霧が一気に晴れたような感じです。

４本の弦が１点で交わっているところを原点に、左上の図のようにダ−ツの的をおきます。
円周上の点Ｐ(x,y)と原点を結ぶ線分ＯＰとx軸とのなす角をθとします。
０Ｐ＝ｒ(θ)とし、極座標系による積分を考えます。