Weekend Mathematics／コロキウム室／テーマ別
／1.平方の問題
コロキウム室(問題)
NO.88 4/14 水の流れ 平方の問題（１）
１桁の整数１，５，６を平方すると、
１，２５，３６となって下１桁は変わりません。
そこで、問題です。
- ２桁の整数Ｎを平方しても下２桁が同じＮとなる
数字Ｎを見つけましょう。
- ３桁の整数Ｎを平方しても下３桁が同じＮとなる
数字Ｎを見つけましょう。
- ４桁の整数Ｎを平方しても下４桁が同じＮとなる
数字Ｎを見つけましょう。
★次ぎに、整数Ｎの桁数を５桁、６桁、・・・ とした場合、
このような整数は果たしてあるのでしょうか？
誰か考えて、教えてください。
NO.92 4/17 Junko 平方の問題（２）
まず、合同式の書き方を確認しましょう。
たとえば、７≡１７(mod 10)つまり、
１０の剰余類で同じグル−プに属するということ、
もう少し平たく言うと１０で割ったあまりが同じということ、
つまり１の位が同じということ。
４月１日≡４月８日（ｍｏｄ７） つまり、同じ曜日だということ。
０および下の桁に０が並ぶものは除外して考えました。
- １桁
- １２＝１≡１(mod 10)
- ２２＝４≡４(mod 10)
- ３２＝９≡９(mod 10)
- ４２＝１６≡６(mod 10)
- ５２＝２５≡５(mod 10)
- ６２＝３６≡６(mod 10)
- ７２＝４９≡９(mod 10)
- ８２＝６４≡４(mod 10)
- ９２＝８１≡１(mod 10)
ということで、１桁の数で条件に合うのは、１と５と６の３つ。
- ２桁
ｘ＝ａｂと２桁で表記されていたとします。
つまりｘ＝１０ａ＋ｂ
ｘ２＝(１０ａ＋ｂ)２
＝１００ａ２＋２０ａｂ＋ｂ２
＝(１０ａ２＋２ａｂ)×１０＋ｂ２
まずこれの１の位とｘの１の位が一致している必要があるので、
ｂ２≡ｂ(mod 10)
つまり、２桁の数を２乗して下２桁が同じになるためには、
下１桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。
従って前段の結果からｂ＝１，５，６です。
ですから、ａ＝１，２，・・・，９として、
次の３つのタイプを調べればよいということがわかります。
- ａ１と２桁で表記できるもの
ｘ＝１０ａ＋１
ｘ２＝(１０ａ＋１)２
＝１００ａ２＋２０ａ＋１
＝(１０ａ２＋２ａ)×１０＋１
これの１０の位とｘの１０の位が一致しているためには、
１０ａ２＋２ａ≡ａ(mod 10)
２ａ≡ａ(mod 10)
ａ≡０(mod 10)
ａ＝１，２，・・・，９の中にはこの条件を満たすものは存在しない。
- ａ５と２桁で表記できるもの
ｘ＝１０ａ＋５
ｘ２＝(１０ａ＋５)２
＝１００ａ２＋１００ａ＋２５
＝(１０ａ２＋１０ａ＋２)×１０＋５
これの１０の位とｘの１０の位が一致しているためには、
１０ａ２＋１０ａ＋２≡ａ(mod 10)
２≡ａ(mod 10)
ａ＝２
確認 ２５×２５＝６２５
- ａ６と２桁で表記できるもの
ｘ＝１０ａ＋６
ｘ２＝(１０ａ＋６)２
＝１００ａ２＋１２０ａ＋３６
＝(１０ａ２＋１２ａ＋３)×１０＋６
これの１０の位とｘの１０の位が一致しているためには、
１０ａ２＋１２ａ＋３≡ａ(mod 10)
２ａ＋３≡ａ(mod 10)
ａ≡−３(mod 10)
ａ≡７(mod 10)
ａ＝７
確認 ７６×７６＝５７７６
以上により、２桁の数で条件に合うのは、２５と７６の２つ。
- ３桁
前と同様に、
３桁の数を２乗して下３桁が同じになるためには、
下２桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。
従って、ａ＝１，２，・・・，９として、
次の２つのタイプを調べればよいということがわかります。
- ａ２５と３桁で表記できるもの
ｘ＝１００ａ＋２５
ｘ２＝(１００ａ＋２５)２
＝１００００ａ２＋５０００ａ＋６２５
＝(１００ａ２＋５０ａ＋６)×１００＋２５
これの１００の位とｘの１００の位が一致しているためには、
１００ａ２＋５０ａ＋６≡ａ(mod 10)
６≡ａ(mod 10)
ａ＝６
確認 ６２５×６２５＝３９０６２５
- ａ７６と３桁で表記できるもの
ｘ＝１００ａ＋７６
ｘ２＝(１００ａ＋７６)２
＝１００００ａ２＋１５２００ａ＋５７７６
＝(１００ａ２＋１５２ａ＋５７)×１００＋７６
これの１００の位とｘの１００の位が一致しているためには、
１００ａ２＋１５２ａ＋５７≡ａ(mod 10)
２ａ＋７≡ａ(mod 10)
ａ≡−７(mod 10)
ａ≡３(mod 10)
ａ＝３
確認 ３７６×３７６＝１４１３７６
以上により、３桁の数で条件に合うのは、６２５と３７６の２つ。
- ４桁
前と同様に、
４桁の数を２乗して下４桁が同じになるためには、
下３桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。
従って、ａ＝１，２，・・・，９として、
次の２つのタイプを調べればよいということがわかります。
- ａ６２５と４桁で表記できるもの
ｘ＝１０００ａ＋６２５
ｘ２＝(１０００ａ＋６２５)２
＝１００００００ａ２＋１２５００００ａ＋３９０６２５
＝(１０００ａ２＋１２５０ａ＋３９０)×１０００＋６２５
これの１０００の位とｘの１０００の位が一致しているためには、
１０００ａ２＋１２５０ａ＋３９０≡ａ(mod 10)
０≡ａ(mod 10)
ａ＝１，２，・・・，９の中にはこの条件を満たすものは存在しない。
- ａ３７６と４桁で表記できるもの
ｘ＝１０００ａ＋３７６
ｘ２＝(１０００ａ＋３７６)２
＝１００００００ａ２＋７５２０００ａ＋１４１３７６
＝(１０００ａ２＋７５２ａ＋１４１)×１０００＋３７６
これの１０００の位とｘの１０００の位が一致しているためには、
１０００ａ２＋７５２ａ＋１４１≡ａ(mod 10)
２ａ＋１≡ａ(mod 10)
ａ≡−１(mod 10)
ａ≡９(mod 10)
ａ＝９
確認 ９３７６×９３７６＝８７９０９３７６
以上により、４桁の数で条件に合うのは、９３７６の１つ。
- ５桁
前と同様に、
５桁の数を２乗して下５桁が同じになるためには、
下４桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。
従って、ａ＝１，２，・・・，９として、
次のタイプを調べればよいということがわかります。
ａ９３７６と５桁で表記できるもの
ｘ＝１００００ａ＋９３７６
ｘ２＝(１００００ａ＋９３７６)２
＝１００００００００ａ２＋１８７５２００００ａ＋８７９０９３７６
＝(１００００ａ２＋１８７５２ａ＋８７９０)×１００００＋３７６
これの１００００の位とｘの１００００の位が一致しているためには、
１００００ａ２＋１８７５２ａ＋８７９０≡ａ(mod 10)
２ａ≡ａ(mod 10)
ａ≡０(mod 10)
ａ＝１，２，・・・，９の中にはこの条件を満たすものは存在しない。
以上により、５桁の数で条件に合うのは存在しない。
- ６桁以上
前と同様に、
６桁の数を２乗して下６桁が同じになるためには、
下５桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。
しかしながら、５桁の数で条件に合うのは存在しないのですから、
６桁以上についても存在しないということが言えます。
NO.107 6/1 Junko 平方の問題（３）
石川県立高岡中学校
数学の部屋「２乗すると・・Part２」
を読んで
NO.92
の証明が完全ではないことが、わかりました。
１の位が５から始まる５、２５、６２５、・・・という系列と
１の位が６から始まる６、７６、３７６、・・・という系列があります。
私は一番上の位をａ（ａ＝１、２・・・９）として、
mod１０（１０で割った時の剰余類）を使って探していきました。
ａ＝０を除外したのは、例えば「０６２５」などという数は、
実際には意味がないと判断したからです。
それ自体はいいと思うのですが、
その段階で５の系列には先がないと判断してしまったことは誤りでした。
次の段階で「ａ０６２５」と５桁で表記されるものを吟味するべきでした。
改めてここでやり直してみます。
- ５桁
５桁の数を２乗して下５桁が同じになるためには、
下４桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。
従って、ａ＝１，２，・・・，９として、
またａ＝０（０については次につなげるステップとして）
次のタイプを調べればよいということがわかります。
- ａ０６２５と５桁で表記できるもの
ｘ＝１００００ａ＋０６２５
ｘ２＝(１００００ａ＋６２５)２
＝１００００２ａ２＋１３５０×１００００ａ＋３９０６２５
＝(１００００ａ２＋１３５０ａ＋３９)×１００００＋６２５
これの１００００の位とｘの１００００の位が一致しているためには、
１００００ａ２＋１３５０ａ＋３９≡ａ(mod 10)
９≡ａ(mod 10)
ａ＝９
確認 ９０６２５×９０６２５＝９２１２８９０６２５
従って、５桁の数で条件に合うものとして、
９０６２５が存在することになります。
- ａ９３７６と５桁で表記できるもの
ａ＝０という結論がでていますから、
５桁のものはないにしても、
６桁以上のものについては
可能性が残されます。
- ６桁
６桁の数を２乗して下６桁が同じになるためには、
下５桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。
従って、ａ＝１，２，・・・，９として、
またａ＝０（０については次につなげるステップとして）
次のタイプを調べればよいということがわかります。
- ａ９０６２５と６桁で表記できるもの
ｘ＝１０００００ａ＋９０６２５
ｘ＝１０５ａ＋９０６２５
ｘ２＝(１０５ａ＋９０６２５)２
＝１０１０ａ２＋１８１２５０×１０５ａ＋８２１２８９０６２５
＝(１０５ａ２＋１８１２５０ａ＋８２１２８)×１０５＋９０６２５
これの１０００００の位とｘの１０００００の位が一致しているためには、
１０５ａ２＋１８１２５０ａ＋８２１２８≡ａ(mod 10)
８≡ａ(mod 10)
ａ＝８
確認 ８９０６２５×８９０６２５＝７９３２１２８９０６２５
- ａ０９３７６と６桁で表記できるもの
ｘ＝１０００００ａ＋０９３７６
ｘ＝１０５ａ＋９３７６
ｘ２＝(１０５ａ＋９３７６)２
＝１０１０ａ２＋１８７５２×１０５ａ＋８７９０９３７６
＝(１０５ａ２＋１８７５２ａ＋８７９)×１０５＋９３７６
これの１０００００の位とｘの１０００００の位が一致しているためには、
１０５ａ２＋１８７５２ａ＋８７９≡ａ(mod 10)
２ａ＋９≡ａ(mod 10)
ａ≡−９(mod 10)
ａ≡１(mod 10)
ａ＝１
確認 １０９３７６×１０９３７６＝１１９６３１０９３７６
以上により、６桁の数で条件に合うものは、
８９０６２５と１０９３７６の２つ。
-
以下同様の操作をしていくと、
- ５の系列は必ず最後は
ａ≡ｋ(mod 10)
（ｋ＝０，１・・・９のいずれか）という形になりますから
必ずそれを満たすａは存在します。
ａ＝０については、次につなぐステップとして・・・
- また６の系列については、必ず最後に
２ａ＋ｌ≡ａ(mod 10)
ａ≡−ｌ(mod 10)
ａ≡１０−ｌ(mod 10)
（ｌ＝０，１・・・９のいずれか）という形になりますから
必ずそれを満たすａは存在します。
もちろんａ＝０については、次につなぐステップとして・・・
以上により、条件を満たす数は５の系列と６の系列に無限にあるという
結論を得ることができると思います。
ところで、石川県立高岡中学校の
数学の部屋「２乗すると・・Part２」の中で、
広島県の清川育男さんが
５の系統について
５2＝２５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２５
２５2＝６２５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６２５
６２５2＝３９０６２５．．．．．．．．．．．．．．９０６２５
９０６２５2＝８２１２８９０６２５．．．．．．．．．８９０６２５
８９０６２５2＝７９３２１２８９０６２５．．．．．．２８９０６２５
２８９０６２５2＝８３５５７１２８９０６２５．．．．１２８９０６２５
１２８９０６２５2＝１６６１６８２１２８９０６２５．２１２８９０６２５
２１２８９０６２５2＝桁あふれ。
次に、６の系統について、
６2＝３６．．．．．．．．．．．．．．．１０−３＝７
７６2＝５７７６。．．．．．．．．．．．．１０−７＝３
３７６2＝１４１３７６．．．．．．．．．．．１０−１＝９
９３７６2＝８７９０９３７６．．．．．．．．．１０−０＝１０
１０９３７６2＝１１９６３１０９３７６．．．．．．１０−３＝７
７１０９３７６2＝５０５４３２２７１０９３７６．．．１０−２＝８
８７１０９３７６2＝７５８８０４３３８７１０９３７６．１０−３＝７
７８７１０９３７６2＝桁あふれ。
という風に規則性を指摘なさっています。
５の系統については、NO.92で、
６２５を探し出した時のことを考えてみます。
ａ２５と３桁で表記できるもの
ｘ＝１００ａ＋２５
ｘ２＝(１００ａ＋２５)２
＝１００００ａ２＋５０００ａ＋６２５
＝(１００ａ２＋５０ａ＋６)×１００＋２５
これの１００の位とｘの１００の位が一致しているためには、
１００ａ２＋５０ａ＋６≡ａ(mod 10)
６≡ａ(mod 10)
ａ＝６＝６
従って、６２５
６の系統については、NO.92で、
３７６を探し出した時のことを考えてみます。
ａ７６と３桁で表記できるもの
ｘ＝１００ａ＋７６
ｘ２＝(１００ａ＋７６)２
＝１００００ａ２＋１５２００ａ＋５７７６
＝(１００ａ２＋１５２ａ＋５７)×１００＋７６
これの１００の位とｘの１００の位が一致しているためには、
１００ａ２＋１５２ａ＋５７≡ａ(mod 10)
２ａ＋７≡ａ(mod 10)
ａ≡−７(mod 10)
ａ≡１０−７(mod 10)
ａ≡３(mod 10)
ａ＝３
従って、３７６
という訳でこの規則性が説明できると思います。
さらに、
１の位の数が５のときをＦｎとする。
１の位の数が６のときをＳｎとする。
Ｆｎ＋Ｓｎ＝１０n+1＋１の関係がみられます。
という結果を示していらっしゃいますが、
これには感動しますね。
本当に不思議です。
詳しくは、石川県立高岡中学校の
数学の部屋「２乗すると・・Part２」をご覧ください。
戻る