Weekend Mathematicsコロキウム室1999.10〜12/NO.75

コロキウム室



NO.653 '99 11/4kiyo約分(2)

十進ベーシックでプログラミングしました。
2進モードで解かせた方がやや速いようです。
所要時間 10分20〜38秒。
所要時間にバラツキがあるのは、タイミングによるのでしょうか?。
2 6 7 2 9 1 3 4 5 8
6 7 9 2 1 3 5 8 4
6 9 2 7 1 3 8 5 4
7 2 6 9 1 4 5 3 8
7 2 9 3 1 4 5 8 6
7 3 2 9 1 4 6 5 8
7 6 9 2 1 5 3 8 4
7 9 2 3 1 5 8 4 6
7 9 3 2 1 5 8 6 4
9 2 6 7 1 8 5 3 4
9 2 7 3 1 8 5 4 6
9 3 2 7 1 8 6 5 4
3 5 8 2 3 1 7 4 6 9
5 8 3 2 1 7 4 9 6
4 3 9 4 2 1 5 7 6 8
4 3 9 2 1 7 5 6 8
5 7 9 6 2 3 1 8 4
7 9 5 6 3 1 8 2 4
5 2 6 9 7 1 3 4 8 5
2 7 6 9 1 3 8 4 5
2 9 3 7 1 4 6 8 5
2 9 6 7 1 4 8 3 5
2 9 7 3 1 4 8 6 5
3 2 9 7 1 6 4 8 5
3 7 2 9 1 8 6 4 5
6 2 9 7 3 1 4 8 5
7 6 2 9 3 8 1 4 5
9 2 3 7 4 6 1 8 5
9 6 2 7 4 8 1 3 5
9 7 2 3 4 8 6 1 5
6 2 9 4 3 1 7 6 5 8
4 6 5 3 2 7 9 1 8
5 6 9 7 3 4 1 8 2
7 2 3 9 4 1 6 7 5 8
2 6 3 7 1 8 4 5 9
4 5 2 7 3 1 6 8 9
5 2 7 4 3 6 9 1 8
5 4 1 8 3 7 9 2 6
5 9 7 6 4 1 8 3 2
7 6 1 4 5 3 2 9 8
8 3 1 8 7 2 5 4 9 6
4 5 8 9 3 6 7 1 2
4 5 9 1 3 6 7 2 8
4 6 8 9 3 7 5 1 2
4 6 9 1 3 7 5 2 8
4 7 6 9 3 8 1 5 2
5 2 3 7 4 1 8 9 6
5 3 7 1 4 2 9 6 8
5 7 8 9 4 6 3 1 2
5 7 9 1 4 6 3 2 8
5 8 3 9 4 6 7 1 2
5 8 9 2 4 7 1 3 6
5 9 1 6 4 7 3 2 8
5 9 2 1 4 7 3 6 8
6 4 7 9 5 1 8 3 2
6 7 4 1 5 3 9 2 8
6 7 8 9 5 4 3 1 2
6 7 9 1 5 4 3 2 8
6 8 3 9 5 4 7 1 2
7 1 2 3 5 6 9 8 4
7 3 1 2 5 8 4 9 6
7 3 6 4 5 8 9 1 2
7 4 1 6 5 9 3 2 8
7 4 2 1 5 9 3 6 8
7 8 9 4 6 3 1 5 2
7 9 4 1 6 3 5 2 8
8 1 7 4 6 5 3 9 2
8 1 7 9 6 5 4 3 2
8 3 9 4 6 7 1 5 2
8 4 1 9 6 7 3 5 2
8 4 3 9 6 7 5 1 2
8 9 3 2 7 1 4 5 6
8 9 4 2 7 1 5 3 6
8 9 5 3 7 1 6 2 4
8 9 5 4 7 1 6 3 2
9 1 5 6 7 3 2 4 8
9 1 5 8 7 3 2 6 4
9 1 8 2 7 3 4 5 6
9 3 1 6 7 4 5 2 8
9 3 2 1 7 4 5 6 8
9 3 5 2 7 4 8 1 6
9 4 1 6 7 5 3 2 8
9 4 2 1 7 5 3 6 8
9 5 2 3 7 6 1 8 4
9 5 3 1 7 6 2 4 8
9 5 4 1 7 6 3 2 8
9 6 3 8 1 5 7 4 2 9
6 4 7 1 5 8 2 3 9
8 3 6 1 7 5 2 4 9

637.79000000000087



     
NO.654 '99 11/4水の流れ数列の規則性(4)

数列の規則を考えて、次の項を見つけてください。

1,11,12,1121,122111、・・・

ヒント:前の問題の応用です。 



NO.655 '99 11/4sambaGREEN三角形の問題・その後(3)

正n角形の各辺を2倍に延長した点を結んでできる正n角形の面積が もとの何倍になっているかを考えます。

例として,正6角形を考えると,もとの正6角形のまわりに赤い三角形Pを 6個くっつけた正6角形になります。
ここで,A=2Pとなるから, 面積は,もとの6角形より 12P 増えます。
もとの正6角形の面積をSとすると,S=6Pであるから,(6P+12P)÷6P=3倍になります。
(もっとも,この場合は,大きい正6角形の1辺が 倍になることは,簡単に示せますが。)


一般的に,正n角形の場合もA=2Pはなりたち,もとのn角形より,面積は 2nP 増える。
したがって,2辺で作られる水色の三角形Pと,もとの正n角形の面積Sの比が求まれば計算できる。



既知の三角形と,四角形で確認しておきます。
正3角形…k=1であるから,1+2×3÷1=7(倍)
正4角形…k=2であるから,1+2×4÷2=5(倍)
正6角形…k=6であるから,1+2×6÷6=3(倍)…(おまけ)

三角関数を使わずに求められそうな,正5角形と正8角形を求めておきます。

【正5角形】

1辺を1とすると対角線は であるから,
Q= Pとなり,
S=2P+Q=
したがって, =3.7639… (倍)

【正8角形】

1辺を2とすると,正8角形がちょうど収まる正方形の1辺は , P=
よって,S= となり k=
したがって, =2.17157…(倍)

【コメント】

n→∞で1に収束しそうですが,するんでしょうか?
また,ちょうど2倍になる正n角形は?



NO.656 '99 11/4Junko三角形の問題・その後(4)

1辺の長さが1の正n角形で考えます。(図は正6角形ですが・・・。)
右図の通り中心角が(2π/n)なので、正n角形の内角θは、θ=2π−(2π/n) となります。

水色の部分Pの面積は、
=(1/2)×1×1×sinθ
=(1/2)×sin{2π−(2π/n)}
=(1/2)×sin(2π/n)

一方、この正n角形が外接する円の半径をrとすると、正n角形の面積Sは、
S=(1/2)×r×r×sin(2π/n)×n

これより、S=nr2Pという関係がでてきます。

NO.655で「sambaGREEN」さんが示してくださった、

という式の k=nr2ということになります。
さらに問題の倍率をX(n)とすると、
X(n)=1+(2n/k)=1+(2n/nr2)=1+(2/r2)・・・(1)となります。

さて、そろそろrを追求しましょう。
正n角形を中心角でn等分した三角形に対して、余弦定理を使います。
2=r2+r2−2r×r×cos(2π/n)
=2r2{1−cos(2π/n)}

これから、(1/r2)=2{1−cos(2π/n)}となります。 これを先程の(1)に代入します。
X(n)=1+(2/r2)
=1+4{1−cos(2π/n)}
=5−4cos(2π/n)  →1(n→∞)

というわけで「sambaGREEN」さんの予想通り1に収束するようです。

次にちょうど2倍となる正n角形があるかどうか? です。
X(n)=5−4cos(2π/n) =2より、 cos(2π/n)=3/4 となりますが、これを満たすnは存在しません。
従って、ちょうど2倍となる正n角形はないという結論です。
ちなみに、mathematicaで計算してみると、2π/Arccos(3/4)=8.69363・・・となりました。
正8角形で倍率X(8)=2.17157・・・、 正9角形で倍率X(9)=1.93582・・・でした。




NO.657 '99 11/6水の流れグレゴリオ暦(1)

第35回数学的な応募問題

太郎さんは、「グレゴリオ暦」(西暦年号)を調べている中で、 歴史上の空白の11日間があることに気が付きました。 ユルウス暦は1582年10月4日(木曜日)までで、 明くる日はグレゴリオ暦の1582年10月15日(金曜日)になっています。 (ある本では10月12日の夜までと、朝起きて10月25日という出来事と書いてありました)
そこで、今回の問題です。西暦2000年1月1日は土曜日です。

問題1:
西暦2100年、西暦2200年、西暦2300年、西暦2400年、 西暦2500年の1月1日は何曜日ですか。

問題2:
西暦2000年から400年までの毎年の1月1日は何曜日になっているか、 その回数を求めてください。

問題3:
西暦の年数の下2桁が00である年(各世紀の最後の年)の1月1日は何曜日か 調べていくと、決して起こらない曜日があります。この曜日を求めてください。

<参考文献>:パズルより面白い中学入試の算数から一部改題(ピーター・フランクル):講談社
太郎さんは、電算部にある万年カレンダーで調べてもらおうと思っています。



 
NO.658 '99 11/6kiyo数列の規則性(5)

解答
2)1  1が1回 −−>11
3)11  1が2回 −−>12
4)12  1が1回、2が1回 −−>1121
5)1121  1が2回、2が1回、1が1回 −−>122111
6)122111  1が1回、2が2回、1が3回 −−>112213
7)112213  1が2回、2が2回、1が1回、3が1回 −−>12221131

上記のような規則性がみられます。
答え 6) 112213



 
NO.659 '99 11/7Junkoグレゴリオ暦(2)

問題1:
365=7×52+1
≡1 (MOD 7)

ですから、閏年でない年は1年で1日分、曜日がずれていきます。
さらに閏年はもう1日分、曜日がずれることになります。



問題2:

閏年でない年は1年で1日分、閏年は2日分、曜日がずれていきます。

4×7=28年たったところで元に戻りますが、 2100年、2200年、2300年は閏年にはならないので、 そこで微妙にずれてきます。
表にしてみました。
コメント
      2000土曜日1回
 2001200220032004 2005 28年で1サイクル
各曜日4回ずつ
200620072008 200920102011
2012 2013201420152016 
2017201820192020 20212022
20232024 2025202620272028
・・・2084もう2サイクル,各曜日8回ずつ
 2085208620872088 2089 日2回、月2回、火3回、水2回、木3回、金2回、土3回
209020912092 209320942095
2096 20972098209921002101
210221032104 210521062107 84年で3サイクル
各曜日12回ずつ
・・・
218621872188 218921902191 日3回、月2回、火3回、水2回、木3回、金3回、土2回
2192 2193219421952196 
2197219821992200220122022203
2204 2205220622072208  84年で3サイクル
各曜日12回ずつ
・・・
2288 2289229022912292  日3回、月2回、火3回、水3回、木2回、金3回、土1回
2293229422952296 22972298
229923002301230223032304 
2305230623072308 23092310 84年で3サイクル
各曜日12回ずつ
・・・
2389239023912392 23932394 日2回、月2回、火1回、水2回、木1回、金2回、土1回
23952396 239723982399(2400)

3×4=12サイクルで48回、それに半端分をたしていくと、
日58回、月56回、火58回、水57回、木57回、金58回、土56回

問題3:
400+(25+24+24+24)=497
=7×71
≡0 (MOD 7)
問題1のところで調べたように、 400年たったところでもとに戻っていることに気がつきます。
土曜日 −> 金曜日 −> 水曜日 −> 月曜日 のサイクルが繰り返されるわけです。
言い換えれば、下2桁が「00」である年の1月1日は、決して日曜日、火曜日、木曜日 とはならないわけです。



NO.660 '99 11/14水の流れ大縄跳び(1)

第36回数学的な応募問題

太郎さんの勤務している学校で、体育大会で「大縄跳び」競技があり、 こんな問題を考えました。

1直線上に2n人の生徒が並んでいます。 大縄をn本渡して、2人で1組とし、 大縄が交差せずに競技ができるようにします。 このとき、生徒は区別しないで、n本の大縄 の軌跡について、次の問に答えてください。


問題1:
n=1,n=2,n=3,n=4,のときの軌跡の数は何通りですか。

問題2:
一般の場合の軌跡の数を、nで表してください。

太郎さんは、過去に、このような数列を扱ったことを覚えています。




NO.661 '99 11/15Junko大縄跳び(2)

問題1:
nに対する軌跡の数をF(n)とすると、
n=1  F(1)=1
n=2  F(2)=2
n=3  F(3)=5
n=4  F(4)=14
これらは、図を描いて数えました。

問題2:


まず n=5の場合について考えてみました。(右図参照)
左から1,2,・・・,10と背番号をつけます。

従って、F(0)=1 と定義すると、
F(5)=F(4)×F(0)+F(3)×F(1)+F(2)×F(2)+F(1)×F(3)+F(0)×F(4)
=14×1+5×1+2×2+1×5+1×14
=42

一般的にもこれと同じことが言えるはずですから、

F(n)=F(n-1)×F(0)+F(n-2)×F(1)+F(n-3)×F(2)+・・・+F(0)×F(n-1)



NO.662 '99 11/16水の流れロケットの性能(1)

今朝、「宇宙開発事業団」 (NASDA)のH2ロケット打ち上げ失敗のニュースが話題になっています。
損失額は約343億円(ロケットは154億円)の膨大なものです。 そこで、問題です。

問1:
1000個の部品で組み立てられているロケットがあります。
すべての部品の精度が0.999(スリー・ナイン)として、 1000個の部品の中の少なくとも1つが故障して打つ上げに失敗する確率を求めなさい。

問2:
1万個の部品で組み立てられているロケットがあります。
すべての部品の精度が0.999(スリー・ナイン)として、 1万個の部品の中の少なくとも1つが故障して打つ上げに失敗する確率を求めなさい。

問3:
10万個の部品で組み立てられているロケットがあります。
すべての部品の精度が0.99999(ファイブ・ナイン)として、 10万個の部品の中の少なくとも1つが故障して打つ上げに失敗する確率を求めなさい。

問4:
10万個の部品で組み立てられているロケットがあります。
すべての部品の精度が0.999999(シックス・ナイン)として、 10万個の部品の中の少なくとも1つが故障して打つ上げに失敗する確率を求めなさい。

問5:
10万個の部品で組み立てられているロケットがあります。
すべての部品の精度が0.9999999(セブン・ナイン)として、 10万個の部品の中の少なくとも1つが故障して打つ上げに失敗する確率を求めなさい。

皆さんは、どれだけの精度を高めたら、打ち上げをしますか、考えてください。







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