Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.10〜12／NO.72
| NO.626 | '99 10/16 | 水の流れ | 化学反応（１） |
先日、太郎さんのお子さんが外部団体（岐阜新聞主催）の学力テストを受けてきました。
この問題を参考にして、今回の応募問題を作ってみました。
２つの容器Ａ，Ｂがあり、容器Ａには物質ａが、また、容器Ｂには物質ｂが、
それぞれの箱の中にいくつか入っています。
この物質ａ，ｂは、容器を開くと次のように化学反応を起こします。
問題１：
今、容器Ｂの中には５５個の物質ｂがある。
容器を開いてから４分後には、どのような物質が何個あるかを求めなさい。
問題２：
今、容器Ａ，Ｂの中には、物質ａ，ｂがそれぞれ1999個ずつ入っている
。同時にそれぞれの容器を開いたとき、異なる物質が変化しなくなるのは、
どちらの容器が何分早いかを求めなさい。
問題３：
容器Ａを開けたところ、物質aが５個、物質ａ(1)が３個，物質ａ(2)が０個，物質ａ(3)が２個，
物質ａ(4)が２個となって変化が終わった。
容器を開けてから変化が終わるまでにかかった時間は何分間であるか。
また、容器を開ける前には容器Ａの中には物質ａがいくつ入っていたのかを求めなさい。
太郎さんは、このような不思議な物質が化学反応していくのと、
先日の核反応臨界事故との関係を思い出しながら、考えたいと思っています。
| NO.627 | '99 10/18 | Junko | 化学反応（２） |
問題１：
５５を４進法表示すると５５＝３１３(4)なので、
(厳密に言うと、４で割るという操作を４／２＝２回行う。)
ｂが３個、ｂ(1)が１個、ｂ(2)が３個。
問題２：
問題３：
６進法表示の２２０３５(6)を１０進法表示に直します。
| ２２０３５(6) | ＝２×６４＋２×６３＋３×６＋５ |
| ＝３０４７ |
| NO.628 | '99 10/20 | 水の流れ | 三角形の面積（６） |
三角形の面積の問題の答え（面積比の利用）
△ＡＢＣの面積を便宜上１とおく。
３本の線分で区切られた７個の部分の面積を、
三角形ＰＱＲ＝ａ，三角形ＡＮＱ＝ｂ，三角形ＢＬＲ＝ｃ，三角形ＣＭＰ＝ｄ，
四角形ＢＲＱＮ＝ｅ， 四角形ＣＰＲＬ＝ｆ，四角形ＡＱＰＭ＝ｇ とおく。
線分ＡＬ，ＢＭ，ＣＮはそれぞれ対辺を１：２に内分しているので、
ｂ＋ｅ＋ｃ＝１／３，ｃ＋ｆ＋ｄ＝１／３，ｄ＋ｇ＋ｂ＝１／３ となる。
この３式を足して、 ２（ｂ＋ｃ＋ｄ）＋ｅ＋ｆ＋ｇ＝１ となる。
７個の部分を全部足した面積は三角形ＡＢＣだから、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＝１ である。
このことより、上に式から引いて
ａ＝ｂ＋ｃ＋ｄ …@となる。
また、図の対称性より、ｂ＝ｃ＝ｄ と言える。
ここで、ｂの面積を求めます。
線分ＢＱ引くと、ＡＮ：ＡＢ＝１：３ より、
△ＡＢＱ＝３△ＡＮＱ＝３ｂ となる。
次に、△ＡＢＱと△ＡＣＱを比べると、
底辺ＡＱは共通で、高さの比は線分ＢＬと線分ＣＬの比に等しい。
よって、ＢＬ：ＣＬ＝１：２ だから、面積比は
△ＡＢＱ：△ＡＣＱ＝１：２から、△ＡＣＱ＝２△ＡＢＱ＝６ｂ である。
ところが、△ＡＮＱ＋△ＡＣＱ＝△ＡＣＮ＝１／３
即ち、ｂ＋６ｂ＝１／３ より 故に 、ｂ＝１／２１
全く、同様にして、ｂ＝ｃ＝ｄ＝１／２１ を得る。
したがって、ａ＝ｂ＋ｃ＋ｄ＝１／７
以上から、△ＰＱＲ＝（１／７）△ＡＢＣ …（答え）
| NO.629 | '99 10/23 | Junko | 99日本シリ−ズ（１） |
今年の日本シリ−ズは、中日ドラゴンズ(セ) ＶＳ 福岡ダイエ−ホ−クス(パ)で争われます。
第１戦は今日福岡ド−ムで行われ、福岡ダイエ−ホ−クスが勝ちました。
昨年コロキウム室で、日本シリ−ズ(14)として話題にしました。
その中のNO.166で示した通り、
初戦を勝ったチ−ムが優勝する確率は(21/32)、負けたチ−ムが優勝する確率は(11/32)ということで、
初戦をとったチ−ムが断然有利だということが言えます。
さて、今年はどうなるのでしょうか？
ところで昨日プロ野球１２球団のマスコットをデザインした切手が発売になりました。
１シ−ト１２枚で９６０円です。
シ−ルタイプでとってもかわいいデザインです。
| NO.630 | '99 10/24 | Junko | 99日本シリ−ズ（２） |
今年の日本シリ−ズは、第１戦と第２戦が福岡ド−ム、第３戦〜第５戦がナゴヤド−ム、
そして第６戦と第７戦は再び福岡ド−ムで行われます。
（毎年、２−３−２と試合を割り振るのでしょうか？）
もちろん先に４勝した方が勝ちですから、第４戦までは確実に行われますけれどもそれ以降は定かではありません。
平均試合数は、コロキウム室のNO.163で計算しましたが、
(93/16)＝5.8125 です。
コロキウム室のNO.157にあるデ−タに昨年のデ−タ
(６試合めでBay Starsの勝ち)を加えると、
（４×５＋５×１１＋６×１７＋７×１６）÷４９＝２８９÷４９＝５．８９７９・・・ となります。
さてここで問題です。
１試合あたりの収入はどちらの球場も同じとして、福岡ド−ムとナゴヤド−ムではどちらが得でしょう？
つまり２−３−２のうち、「２−○−２」を取った方が得か？
「○−３−○」を取った方が得か？
| NO.631 | '99 10/24 | 水の流れ | 99日本シリ−ズ（３） |
ちなみに、両チームの選手への報奨金は最初の４試合分の入場料と聞いています。
勿論、優勝チームが何割かは多くもらいます。これは、調べれば分かりますが。
また、今日、中日が勝ったと仮定した場合（今、リードしていますので）
ダイエーが○●で優勝する統計的確率は１０／２２＝０．４５４５・・・
ドラゴンズが●○で優勝する統計的確率は１２／２２＝０．５４５４・・・
となり、ドランゴンズが有利になります。
| NO.632 | '99 10/25 | 水の流れ | 素数・△数・□数（１） |
「０から９までの数字を１列に並べ、隣り合う２数から９つの２桁の整数を作る。
このとき、この２数が整数が、素数なら３点、四角数なら２点、
三角数なら１点のように得点が与えることにする。
できるだけ高い得点が得られるように、０から９までの数字を１列に並べてください。
例えば、１２３４５６７８９０の場合、左から順にできる９個の２桁の整数を調べると、
| １２…０点、 |
| ２３…素数なので３点、 |
| ３４…０点、 |
| ４５…三角数なので１点 |
| ５６…０点、 |
| ６７…素数なので３点、 |
| ７８…三角数なので１点、 |
| ８９…素数なので３点、 |
| ９０…０点 |
＜参考文献＞：数とその歴史５３話（上垣渉 何森仁 共著）：三省堂
太郎さんは、一番高得点の並び方を実際知りません。
生徒に、並べてもらって、得点を調べてもらおうと考えています。
| NO.633 | '99 10/26 | Junko | 99日本シリ−ズ（４） |
日本シリ−ズ第３戦はナゴヤド−ムで行われ、福岡ダイエ−ホ−クスが勝ちました。
昨年コロキウム室のNO.171で計算しましたように、
２勝１敗の福岡ダイエ−ホ−クスが優勝する確率は(11/16)、
１勝２敗の中日ドラゴンズが優勝する確率は(5/16)です。
| NO.634 | '99 10/26 | 水の流れ | 99日本シリ−ズ（５） |
今日の日本シリーズはダイエーが勝って２勝１敗になりました。
ここで、明日以降の優勝確率です。
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