Weekend Mathematics／コロキウム室／1997／NO.6


コロキウム室


NO.39　　　10/1 　　　　 Junko

この春からゴルフを始めました。 今日は、箱根湯ノ花ゴルフ場に行ってきました。 コ−スに出るのはこれで３回目です。 スコア？　はきかないでください。 でも、おもしろいなあと感じ始めています。 もっと練習して上手になりたいな。
今日のコ−スは箱根駒ヶ岳のふもとの相模湾が一望できるところです。 もっとも、私には景色を楽しむ余裕は ほとんどなかったですけれど・・・。



NO.40　　　10/2 　　　　 みかん

１年は１月１日より始まるのに、年度は４月から始まる、 学校（日本の）も4月から始まる。 外国では学校は９月から始まるようになっているようです。 何故、一年の始まる日が幾つかに別れているのでしょう？ そこにはどのような意味があるのですか？ 　



NO.41　　　10/6 　　　　 山漁師の六太夫

さて、また難問が出されたのでお教え願えませんか？
これは、仕事上で使うのですが、若い子から質問されても、 可能かどうか即答できなかったのでご相談します。

Ｘの１．８乗を、四則演算と平方根だけで 式に出きるのでしょうか？
１．８は固定の数字です。

ご存じかどうか解りませんが、 シーケンサー（ＰＬＣ　プログ　ラマブル　コントローラー）で、 機械の制御に使うのですが、演算機能が限定されているらしく、 どれほど長い式になっても大丈夫なのですが、 いかんせん　上記の四則演算と平方根しか 使用できないらしく （今時の１，０００円以下で売っている電卓レベル）、 可能なら式を、 不可能ならその理由が知りたいと思っています。



NO.42　　　10/11 　　　　 わたあめ

X の 1.8 乗 が 四則演算とroot計算で出来るかとの事ですが、 一般的には出来ない事は明らかですね。
1.8 の時だけ出来るかというのですが、 root は 2分の1乗 、1.8 は 5分の9乗ですから ５を２でを用いて表すことが必要になりますが、 ５と２は素数なので 乗除演算 (分母であるから加減算は出来ない） のみで表す事は出来ないので｢不可能｣というのが 答えではないでしょうか？
ただし、 近似計算ならば可能であり、 実業的にはさしつかえありません。 というより、実務面で必要な実数は普通誤差 １ から 0.1％、 特殊な時でも 0.01％です。
実用上は十分なので近似計算値を使うのがあたりまえです。 特殊な現場では場合に応じてその範囲を決めています。



NO.43　　　10/12 　　 Junko　　

ｘの１．８乗について詳しく説明しましょう。
これを有理数表示しますと、１．８＝９／５となります。
ｘ＞０に対して、指数が有理数の場合ｍ＞０ととり、 次のように定義します。

指数
従って、ｘの１．８乗、つまり９／５乗は、 ｘを９乗して、５乗根をとればいいわけです。
ところが、ル−ト計算（２乗根）しかできない電卓では、 ５乗根は計算できません。
できるのはｍが２の何乗かの形にかける時のみということになります。

わたあめさんのご指摘通り、近似計算ならば話は別です。

私はテイラ−展開を利用して近似することを考えました。

テイラ−（Taylor）の定理
f(x)はある区間Ｉでｎ回微分可能な関数であるとする。 ａはＩに属する１つの点とする。 このとき、Ｉに属する任意のｘに対して、ｘとａとの間にある 適当なξを選べば（ξはギリシア文字でクシ−と読みます。）

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!･(x-a)2+f'''(a)/3!･(x-a)3+
　　　　　　　　　･･･+f(n-1)(a)/(n-1)!･(x-a)n-1+Ｒn　　@
が成り立つ。
ただし、Ｒn=f(n)(ξ)/n!･(x-a)n　　　A
これを剰余類といい、n→∞とした時にＲn→0になるならば、
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!･(x-a)2+f'''(a)/3!･(x-a)3+
　　　　　　　　　･･･+f(n-1)(a)/(n-1)!･(x-a)n-1+･･･　　　B
という無限級数表示が得られます。
f(x)のこの無限級数表示のことを、テイラ−展開といいます。
これは条件を満たす関数については、 必ず整式で近似できるということを示しており、 整式で表すことができれば、加減乗除で事足りるわけです。

そこで0＜x＜2の時、f(x)=x1.8=x9/5がa=1として、 テイラ−展開できることを示します。

f(x)=x9/5、f(1)=1
f'(x)=9/5･x4/5、f'(1)=9/5
f''(x)=9/5･4/5･x-1/5、f''(1)=9/5･4/5
f'''(x)=9/5･4/5･(-1/5)･x-6/5、f'''(1)=9/5･4/5･(-1/5)
･･･
ですから、

f(x)=1
     +9/5･(x-1)
     +9/5･4/5･1/2!･(x-1)2　
　　 +9/5･4/5･(-1/5)･1/3!･(x-1)3
　　 +9/5･4/5･(-1/5)･(-6/5)･1/4!･(x-1)4
　　 +･･･
　　 +9/5･4/5･(-1/5)･･･((19-5n)/5)･1/(n-1)!･(x-1)n-1
     +Ｒn
となります。

この場合、n回微分
f(n)(x)=9/5･4/5･(-1/5)･･･((14-5n)/5)x(9-5n)/5なので、
Ｒn=f(n)(ξ)/n!･(x-1)n
　
　=9/5･4/5･(-1/5)･･･((14-5n)/5)ξ(9-5n)/5/n!･(x-1)n

　=9/5･4/5･(-1/5)･･･((14-5n)/5)/n!･ξ9/5･ξ-n･(x-1)n

　=((14-5･1)/(5･1))･((14-5･2)/(5･2))･((14-5･3)/(5･3))･･･((14-5･n)/(5･n))･ξ9/5･ξ-n･(x-1)n

　=(14/5-1)･(14/(5･2)-1)･(14/(5･3)-1)････(14/(5･n)-1)･ξ9/5･(1/ξ)n･(x-1)n

　　
　

n→∞とした時にＲn→0を示します。

  1. 1＜x＜2のとき

    まず、0＜x-1＜1、

    ξはxとa(=1)との間の値ですから、
    1＜ξ＜x
    0＜1/ξ＜1

    ｜Ｒn｜
　=｜14/5-1｜･｜14/(5･2)-1｜･｜14/(5･3)-1｜････｜14/(5･n)-1｜･｜ξ｜9/5･｜1/ξ｜n･｜x-1｜n

    　
　=Ｃ･｜14/(5･2)-1｜･｜14/(5･3)-1｜････｜14/(5･n)-1｜･｜1/ξ｜n･｜x-1｜n

    　
　　　　　(ただし、Ｃ=｜14/5-1｜･｜ξ｜9/5で定数。)

    
　＜Ｃ･｜1/ξ｜n･｜x-1｜n→0　(n→∞)

    　　
　　　　　(n≧2のとき、｜14/(5･n)-1｜＜1なので)
  2. 1/2＜x＜1のとき

    ξはxとa(=1)との間ですから、
    x＜ξ＜1
    1/2＜xより、1/2＜ξ
    1+＜x+ξ
    -ξ＜x-1
    -1＜(x-1)/ξ

    一方　x-1＜0、ξ＞0より、(x-1)/ξ＜0
    つまり、-1＜(x-1)/ξ＜0
    ｜(x-1)/ξ｜＜1

    先程と同様に、
    ｜Ｒn｜
　=｜14/5-1｜･｜14/(5･2)-1｜･｜14/(5･3)-1｜････｜14/(5･n)-1｜･｜ξ｜9/5･｜1/ξ｜n･｜x-1｜n

    　
　=Ｃ･｜14/(5･2)-1｜･｜14/(5･3)-1｜････｜14/(5･n)-1｜･｜1/ξ｜n･｜x-1｜n

    　
　＜Ｃ･｜(x-1)/ξ｜n→0　(n→∞)

    　　
  3. 0＜x＜1/2のとき

    この部分については実は未解決（？）なのです。
    0＜x＜1/2のときは、ξの取り方によっては必ずしも
    -1＜(x-1)/ξとはなりません。
    従って、上記のようなやり方では証明できません。

    ｜14/5-1｜･｜14/(5･2)-1｜･｜14/(5･3)-1｜････｜14/(5･n)-1｜
    の部分を抱き込んでいかなければならないのだと思います。 どなたかアドバイス願います。




不完全ながら　0＜x＜2の時(1/2＜x＜2についてはいいですよね。)
f(x)=x1.8=x9/5がa=1として、 テイラ−展開できたとして、

f(x)=1
     +9/5･(x-1)
     +9/5･4/5･1/2!･(x-1)2　
　　 +9/5･4/5･(-1/5)･1/3!･(x-1)3
　　 +9/5･4/5･(-1/5)･(-6/5)･1/4!･(x-1)4
　　 +･･･
　　 +9/5･4/5･(-1/5)･･･((19-5n)/5)･1/(n-1)!･(x-1)n-1
     +･･･
を計算(加減乗除だけ)することで近似できるわけです。

また、２以上のｘについては、次のような工夫をします。
x＜m5を満たす自然数mを探してきます。

x9/5=(m5･x/m5)9/5
　　　=m9･(x/m5)9/5
ここで、x/m5＜1なので、 m9を別に計算してかけることでできるわけです。

ただし、このテイラ−展開による近似はx=1の近くでは、 かなり正確な値を求めることができますが、 遠くになると（0や2の近く）誤差が大きいようです。




NO.44　　　10/13 　　 Junko　　

ｘの１．８乗を、四則演算と平方根だけで近似できるかという話です。

root計算ができるということは、 ｘ1/mのｍが ２の何乗かの形にかける時だけです。
そこで、１．８を２進数表示すればよいわけです。

１．８を２進数表示する具体的な方法を示します。

1の位は1です。1.8-1=0.8を次に考えます。
少数第1位は、0.8を２倍すると1.6となり、1を越えるので1です。
1.6-1=0.6を次に考えます。
少数第2位は、0.6を２倍すると1.2となり、1を越えるので1です。
1.2-1=0.2を次に考えます。
少数第3位は、0.2を２倍すると0.4となり、1を越えないので0です。
0.4を次に考えます。
少数第4位は、0.4を２倍すると0.8となり、1を越えないので0です。
0.8を次に考えます。
以下同じ様に続けます。

1.8=1.11001100･･･(二)と表示する事ができます。

これは、1.8=1+(1/2)+(1/4)+(1/32)+(1/64)+･･･を意味します。
従って、

ｘ1.8=ｘ1+(1/2)+(1/4)+(1/32)+(1/64)+･･･
　　=ｘ1･ｘ(1/2)･ｘ(1/4)･ｘ(1/32)･ｘ(1/64)･･･　
というわけで、これはroot計算とかけ算のみで近似できることになります。
また､1.8以外の数値についても同様です。



NO.45　　　10/16 　　 影法師　　

NO４０について

南半球のオーストラリアやニュージーランドでは、 新学期は2月に始まります。 夏休みは12月と1月です。
そうすると、地球上の始まりは、 1月、2月、4月、9月の４通りがあることになります。 本当にどうしてでしょう？



NO.46　　　10/17 　　 God

私は、愛知県名古屋市に住んでいまして サラリーマンをしております。

面積を求める問題ですが、 なかなか難しく私の手には負えません。

問題：半径Ａの円が４つあり、 それが図のように重なっています。 その時、すべての円が重なる （色が着けてある）部分の面積の求め方は？
円の面積の問題





　

NO.47　　　10/17 　　 Junko　

円の半径、つまり中央にある正方形の１辺の長さを ｒとします。
下の図のように、それぞれの部分の面積を ｘ、ｙ、ｚと設定します。 ｘを求めればよいわけです。
円の面積の問題1

まず、正方形に注目すると、
ｒ２＝ｘ＋４ｙ＋４ｚ・・・@

また、下の図のオレンジの部分に注目すると、
正方形から１／４円を差し引けばいいわけですから
ｒ２−πｒ２／４＝ｙ＋２ｚ・・・A
円の面積の問題2

また、下の図のオレンジの部分に注目すると、
１／４円２つから正方形を差し引けばいいわけですから
（πｒ２／４）×２−ｒ２＝ｘ＋２ｙ・・・B
ただし、これは@Aから導くこともできます。
円の面積の問題3

さて、次に下の図のオレンジの部分の面積を具体的に求めてみます。 これは、ｘ＋２ｙ＋ｚにあたりますので、これがわかればBとあわせて、 ｚの値が求まることになります。
円の面積の問題4

下の図のように補助線を２本ひくと、 緑の正三角形（各辺は円の半径ですから長さはすべてｒ）と、 青の部分が２つに分けられます。
まず緑の正三角形の面積ですが、 底辺ｒ、高さ(SQR(３)／２)ｒですから、 (SQR(３)／４)ｒ２となります。
一方、青の部分は１／６の扇形（６０゜ですから）の面積から 正三角形の面積をひくことで求められます。
つまり、πｒ２／６−(SQR(３)／４)ｒ２です。
円の面積の問題5

従って、

ｘ＋２ｙ＋ｚ＝(πｒ２／６−(SQR(３)／４)ｒ２)×２＋(SQR(３)／４)ｒ２

ｘ＋２ｙ＋ｚ＝πｒ２／３−(SQR(３)／４)ｒ２・・・C

先程書いたように、BCよりｚの値を求めることができます。
ｚ＝(１−π／６−(SQR(３)／４))ｒ２
これを、Aに代入することにより、
ｙ＝(−１＋π／１２−(SQR(３)／２))ｒ２
更にこれを@に代入して、
ｘ＝(１＋π／３−SQR(３))ｒ２
もっと、すっきりした解答があれば、とも思うのですが・・・。



NO.48　　　10/22 　　 God

早速の回答ありがとうございました。 なるほど・・・って感じですね。
ところで、ついでにどうですか？ 黒塗りの角度を求める問題です。 解いてみてください。 どこかの中学入試問題らしいです。

角度の問題



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