NO.2010 一筆書きの問題(3) 2012.2.12. 迷子の雄猫
以下、Ａ-(3)-Ｂという記述は、Ａ点からＢ点へ向かうルートの数が、
その時点で3通りあることを示すものとする。
Ａ-(3)-Ｂ-(3)-Ｃ-(3)-Ａ-(2)-Ｂ-(2)-Ｃ-(2)-Ａ-(1)-Ｂ-(1)-Ｃ-(1)-Ａ
Ａ-(3)-Ｂ-(3)-Ｃ-(3)-Ａ-(2)-Ｂ-(2)-Ｃ-(1)-Ｂ-(1)-Ａ-(2)-Ｃ-(1)-Ａ
Ａ-(3)-Ｂ-(3)-Ｃ-(3)-Ａ-(2)-Ｂ-(1)-Ａ-(2)-Ｃ-(2)-Ｂ-(1)-Ｃ-(1)-Ａ
など、結局はＡＢ間を3回、ＢＣ間を3回、ＣＡ間を3回通ることになる。
結果、回り方それぞれについて3*3*3*2*2*2*1*1*1通り=216通りの回り方がある。
回り方はa2個、b3個、c3個を同じ文字が隣接しないよう一列に並べる方法と同じであるので、
*a*a****はbcbcかcbcbとb,cの組み合わせで2*2=4通り
*a**a***はbcbかcbcとcbかbcの組み合わせで2*2=4通り
*a***a**はbcbかcbcとcbかbcの組み合わせで2*2=4通り
*a****a*はbcbcかcbcbとb,cの組み合わせで2*2=4通り
**a*a***はbcbかcbcとcbかbcの組み合わせで2*2=4通り
**a**a**はbcかcbとbcかcbとbcかcbの組み合わせで2*2*2=8通り
**a***a*はbcbかcbcとcbかbcの組み合わせで2*2=4通り
***a*a**はbcbかcbcとcbかbcの組み合わせで2*2=4通り
***a**a*はbcbかcbcとcbかbcの組み合わせで2*2=4通り
****a*a*はbcbcかcbcbとb,cの組み合わせで2*2=4通り
合計44通り
よって求めるルートの数は9504通り
＃意外に多かった・・。
NO.2009 一筆書きの問題(2) 2012.2.12. 夜ふかしのつらいおじさん
点Ａからは6本（偶数）の道が出ているので、Ａから出るとＡに戻ってきます。
Ａから出てＡに戻ってくるとき、各点は６本の道があるので、途中Ａは２回、Ｂは３回、Ｃは３回経由します。
つまり、Ａ4個、Ｂ３個、Ｃ３個の並べ方を考えればよいことになります。
ただし、両端はＡで、途中同じアルファベットが並んではいけません。
ＡとＡの間に入るアルファベットの個数をｘ，ｙ，ｚ（自然数）とすると、ｘ＋ｙ＋ｚ＝６です。
はじめに、ｘ，ｙ，ｚにあらかじめ１ずつ割り振って、
ｘ，ｙ，ｚの３個から重複を許して３個組み合わせる場合の数を数えると、
3Ｈ3＝5Ｃ3＝１０より、
ＡとＡの間に入るアルファベットの個数のパターンは、次の１０通りです。
(1)１，１，４ (2)１，２，３ (3)１，３，２ (4)１，４，１ (5)２，１，３
(6)２，２，２ (7)２，３，１ (8)３，１，２ (9)３，２，１ (10)４，１，１
次にその間にＢとＣを入れることを考えます。
左右対称になる並び方がないことから、左端のＡの右にＢがくるものだけを書き出してみます。
ＢとＣを交換したものを考えると、２２×２＝４４通りになります。
２つの地点の間には３本の道があるので１回目にそこを通るときには３通り、
２回目には２通り、３回目には１通りの方法があります。
以上から、一筆書きの方法は、
４４×(３！)3＝４４×６×６×６＝９５０４通りです。
NO.2008 放物線上の点 2012.2.12. 水の流れ
第２７０回数学的な応募問題
問題１：
（１）ｘ２ の係数が２である放物線上にｘ座標が１，２，４である点Ａ，Ｂ，Ｃがある。このとき、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。
（２）ｘ２ の係数がaで下に凸の放物線上にｘ座標がα、β、γ（α＜β＜γ）である点Ａ，Ｂ，Ｃがある。このとき、三角形ＡＢＣの面積をａ、α、β、γで表せ。
問題２：傾きがｍと―ｍである２直線がある放物線と異なる４点で交わるとき、この４点が同一円周上にあることを証明せよ。
注：この記事に関する投稿の掲載は、2012年2月27日以降とします。
NO.2007 面積の最小(3) 2012.2.12. Ｒｙｕ1128
問題1
準備
ｙ＝ｍ(ｘ-2)+6 はｙ-6＝ｍ(ｘ-2) と変形できるので、(2,6)を不動点とした直線群です。
（1）y = x2 を y = f(x)とし点対称に移したときの関数を Y = g(X)とします。
座標は次の通りです。
Ｘ＝(2-x)+2=-x+4 x=-Ｘ+4
Ｙ＝(6-y)+6=-y+12 y=-Ｙ+12
y=x2 なので
-Ｙ+12 = (-Ｘ+4) 2
記号を戻してy= g (x)とし整理すると
y= g (x) = -(4-x) 2+12
これは、(4,12)を頂点とした凸の放物線になります。
（2）y = f(x) とy = g (x)を連立して交点を求めると
(2±√2, 6±4√2)
となります。
交点も当然(2,6)に対して点対象なので準備で述べた直線に乗ります。
（このとき直線はm=4です）
よってTは y = f(x) と y = g (x) で囲まれた部分の1/2となります。
図で示すとおり直線が交点を通らない場合（ｍ≠4）y = f(x)とy = g (x)と直線で囲ま
れる部分をQとし次の関係が成り立ちます。
2S = 2T+2Q
よってS≧Tで等号が成り立つのはQ=0即ちm=4の場合です。
（3）
(2)で述べたとおりSを最小にするmは４です。
m=((6+4√2)- (6-4√2))/（（ 2+√2）-（2-√2））＝4
問題2
準備
ｙ＝ｍｘ+2はｙ-2＝ｍｘと変形できるので、(0,2)を不動点とした直線群です。
問題1と同様の議論が成り立つので
（1）
y = g (x) = -4-ｅ-ｘ
（2）
y = f(x)とy = g (x)を連立して交点を求めると
(ｅｘ+ｅ-ｘ)/2=2
coshx=2
x= cosh-12=log(2±√3)
y=2±√3
（3）
Sを最小にするのはy=f(x)とy= g (x)の交点を結ぶ直線であることがわかっているの
で
m= ((2+√3)- (2-√3))/（log（ 2+√3）- log（2-√3））＝√3/ log（ 2+√3）
NO.2006 面積の最小(2) 2012.2.12. 夜ふかしのつらいおじさん
●準備
曲線（ y = f(x) ）が直線（ y = mx + n）で切り取られる部分の面積は、
曲線から直線を引いた式（ y = f(x) - (mx + n) ）が表す曲線とｘ軸とが囲む部分の面積（S）と同じです。
つまり、左図の桃色の図形の面積と空色の図形の面積（S）とは同じです。
左図の y = f(x) - (mx + n) の曲線がｘ軸を切り取ってできる弦の中点 O に関して対称に移動すると、
右図のようになります。
弦の中点 O を通る直線が曲線を切り取る部分の面積（S'）はSより右図の黄色の部分だけ大きくなります。
S' は、Sに比べ O，B，Q に囲まれた部分（水色）が減り、O，A，Pに囲まれた部分（水色と黄色）が増えます。
水色の部分が、2つの曲線が点 O に関して対称の位置にあるので合同となり面積も等しいからです。
右図で点Oを通る直線が曲線を切りとるとき、水平の場合が面積の最小となります。
切り取る直線の傾きに関係なく面積が変わらないのは、点対称で閉じた図形の場合です。
分かりやすいのは、円です。
●問題１の普通の解答
この問題の誘導は、とてもすばらしいと思います。
なかなか思いつきません。
まず、誘導がないときの解をかきます。
この方法は放物線のときにしか通用しません。
