NO.1993 オイラーの多面体定理の拡張(予想)(2) 2011.11.28. 夜ふかしのつらいおじさん
●Ｖ（vertex）：点、Ｅ（edge）：辺、Ｆ（face）：面 として
普通のとらえ方で、オイラーの多面体定理（辺で連結した１つの単体について）が、成り立っています。
平面図形のとき、Ｖ2－Ｅ2＋Ｆ2＝１
凸多面体のとき、Ｖ3－Ｅ3＋Ｆ3＝２
（添え字は、Ｖ2等：平面図形、 Ｖ3等：立体図形のときを示します）
（平面図形の場合は、１次元の線状の場合も含んでいます）
平面図形と立体多面体の図形を辺（E）で連結してみると、 とりあえず、
となりますが、連結のための辺（Ｅ）が１つ増えるので、両辺から１を引くと、
となり、立体図形の式は平面図形と辺で連結されても成立します。
上の図では、Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝７－１０＋５＝２
次の図のように点（Ｖ）や辺（Ｅ）で平面図形と立体図形が連結していても成立します。
左の場合：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝６－９＋５＝２（辺で連結に比べ、辺Ｅと点Ｖがともに１ずつ減）
右の場合：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝５－８＋５＝２（上の場合に比べ、辺Ｅと点Ｖがともに１ずつ減）
●平面図形と立体多面体の統合を考えます。
・展開図を組み立てたと考えると、重なりを考えなければなりません。
頂点Ｖは２減り、辺Ｅは３減ります。
・変形する展開図で１つの頂点を引っ張って１つ面Ｆを加えたと考えてもよいと思います。
・平面図形と立体多面体の区別は閉じた空間があるかないかの違いです。
だから、胞（平面に囲まれた部分）の独立した個数Ｃを考えれば良いと思います。
（Ｃはcellのイメージかなと思います）
・これで対象が平面図形か立体多面体かを気にする必要がなくなります。
・拡張したオイラーの多面体定理（Cを胞の個数として）
V－E＋F－C＝１･･････(*)
●1990の文章の中に
Ｃ：胞（膜に囲まれた部分）の独立した個数
ｆ：連結した膜（点または辺で隣り合う）の独立した個数
ｒ：小さい輪（一つの辺に一つかけ、はずれない）の個数
Ｐ：要の点（膜を持たない３つ以上の辺の集まった点）の個数
Ｒ：大きな輪（膜に囲まれた一つの穴に一つかけ、はずれない）の個数
とあります。
そして、次のような例があります。
例１ 立方体の、上と下の膜のみを欠いたとき
例２ 立方体の、上と下の膜のみを残したとき
例３ 立方体の、隣り合う３つの膜を残したとき
上の図は例１、下の図は例３のためにあります。
例１の「膜」は平面と同義だと思います。
ｆは「連結した膜（点または辺で隣り合う）の独立した個数」とありますが、
「連結した平面の個数」とした方が分かりやすいと思います。
●上のようなことを考えるのは、１個の連結した単体を見るのに部分的に異なる『目』を用いるということです。
①１次元の目：『辺Eにそってしか認識できない目』
②２次元の目：『辺Eと面Fにそって認識できる目』
③３次元の目：『普通の目』
・３次元の目で三角形を見ると、V－E＋F－C＝３－３＋１－０＝１となり、（*）は成立しています。
・２次元の目で三角形を見ても、V－E＋F－C＝３－３＋１－０＝１となり、（*）は成立しています。
・ところが１次元の目で見ると、V－E＋F－C＝３－３＋０－０＝０となり、（*）は成立しません。
そこで補正のためにrが必要になります。
しかし、V、E、F、Cはその目で見ているのに、ｒは３次元の目で見ているということになります。
V－E＋F－C＋ｒ＝１･･････(**)
●次に三角錐を見てみます。
・３次元の目で三角錐を見ると、V－E＋F－C＋ｒ＝４－６＋４－１＋０＝１となり、（**）は成立しています。
・２次元の目で三角錐を見ても、V－E＋F－C＋ｒ＝４－６＋４－１＋０＝１となり、（**）は成立しています。
（２次元の目で波線の値を調べるのは難しいのかもしれません）
・ところが１次元の目で見ると、V－E＋F－C＋ｒ＝４－６＋０－０＋４＝２となり、（**）は成立しません。
※ この方針で拡張していくのは難しいのではないでしょうか。
● 基本的な図形へのあてはめ
V－E＋F－C＝ｆ－ｒ＋P－R･･････(***)
例えば、次のような図形に利用してみると、水色の部分はうまくいっています。（(*)が成立）
しかし、水色以外は、(***)がうまくいっていません。
