NO.1921 この角何度 2011.2.21. 水の流れ
第２５４回数学的な応募問題
四角形ＡＢＣＤにおいて、∠ＡＢＤ＝５０°，∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＤ＝３０°，
∠ＡＣＢ＝４０°のとき、∠ＣＡＤは何度か。
注：この記事に関する投稿の掲載は、2011年３月14日以降とします。
NO.1920 格子点の数 (2) 2011.2.21. 夜ふかしのつらいおじさん
● 4|x|+3|y|=12 のグラフは、
と変形すると、切片が (3n,0),(0,4n),(-3n,0),(0,-4n) であるような菱形です。
調べる領域は菱形の内部です。
（１）ｘ，ｙがともに自然数であるときは、第１象限です。
１）図の赤色の部分（傾き－１の赤線以下の部分）
２）図の黄色の部分（傾き－１の線で分類して数える。nが2,3,･･･,nと変わると、3ずつ増える）
３）図の青色の部分（直線上のところ）
n-1 個
以上から、
（２）x軸上の点は、3n×2＋1個、y軸上の点は、4n×2＋1個、原点を重ねて数えているので、計14n+1個
（３）（１）の答えを4倍して（２）の答えを足すと、
●後半の準備
上の図のように元の図形を等積で長方形に変形します。
黄色の点は、数えるべき点が重なってしまう点です。（3個・・・n個）
灰色の点は、数えなくてもよい点です。（9個・・・3n個）
元の三角形では(1＋3＋5)＋(9＋11＋13)＋(17＋19＋21)＋25＝124個の点があります。
長方形にすると、10×13＋3－9＝124
（４）境界線上の点は、
軸上の点 ４
軸以外の点 ４×(ｎ－１)
合計 ４ｎ
（５）面積は菱形なので、対角線の長さの積の半分です。つまり 
（６）次の図を参考に考えます。
NO.1918 当然と思える問題・その２(7) 2011.2.12. K.F.
問１
明らかに凸領域、すなわち、その中の任意の２点を結ぶ線分を完全に含んでいる領域に
制限して議論すれば十分である。
問１．の証明のために、次の二つの補助定理を証明する。
補助定理１
下底と上底と高さの等しい全ての台形の中で、その脚の長さの和が最小なのは、等脚台形である。
証明
ＡＢＣＤを下底ＢＣ、上底ＡＤ，脚ＡＢ、ＣＤの任意の台形とする。
ＡＤの垂直二等分線に関するＢの鏡像をＢ’とし、ＣＢ’の中点をＣ０とする。
ＣＢの延長線上にＢＢ０＝ＣＣ０となりように点Ｂ０をとり、
等脚台形ＡＢ０Ｃ０Ｄを作る。
等脚台形の下底と上底と高さは与えられた台形のそれと等しいので、その面積も等しい(fig.1)
ここで、ＤＣ０をその長さだけ延長し、その終点をＦとすると、平行四辺形ＤＣＦＢ’が得られる。(fig.1)
その対角線ＤＦの長さは、辺ＤＣとＣＦの長さの和よりも短い。
ＤＦ＜ＤＣ＋ＣＦ
ところが、ＤＦ＝２・ＤＣ０＝ＤＣ０＋ＡＢ０であり、
ＣＦ＝ＤＢ’＝ＡＢだから、
ＡＢ０＋ＤＣ０＜ＡＢ＋ＤＣ
となっている。このことから等脚台形のときに、脚の長さの和が最小になることがわかる。
(証明終わり）
補助定理２
円長最小の平面領域には、全ての方向に対して対称軸が存在する。
証明
ここで、与えられた面積Ｊを持ち、周長が最小の領域を Ｆ とし、その円長を u とおく。
領域 Ｆ に任意の直線 g を引き、gに垂直な直線で、 Ｆ を多くの
十分に細い台形ＡＢＣＤに分割して、弧状の脚ＡＢ、ＣＤを直線分で近似して考える。
分割線・・・、ＡＤ、ＢＣ、・・・と g との交点から、その分割線上の g の両側に、
弦・・・、ＡＤ、ＢＣ、・・・の半分の距離の点・・・、Ａ’、Ｄ’、Ｂ’、Ｃ’、・・・をとり、
台形・・・、Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’、・・・を考える。
この新しい台形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’は、等脚台形であり、その下底、上底、高さは、
台形ＡＢＣＤのそれと等しいから、その面積も等しい。
このとき、補助定理１より
Ａ’Ｂ’＋Ｃ’Ｄ’≦ＡＢ＋ＣＤ ・・・式１
であり、台形ＡＢＣＤも等脚台形のときだけ、等号が成立する。
この方法により、 Ｆ から対称軸 g をもつ 新たな領域 Ｆ’ が得られる。
その面積は、 Ｆ と等しいから、その周長も等しくなる。
なぜなら、その値は、u より小さくなれないからである。
つまり、式．１の等号はどこでも成り立つので、全ての台形ＡＢＣＤは等脚台形になり、
ＢＣの垂直二等分線が Ｆ の対称軸になっている。
したがって、周長最小の平面領域 Ｆ には、全ての方向に対して対称軸が存在する。(証明終わり）
以上二つの補助定理を利用して、問１の命題が証明できる。
証明
ⅠとⅡを直行する Ｆ の対称軸とし、Ｍをその交点とする。
Ｆ の任意の点ＰのⅠに関する鏡像をＰ1、
Ⅱに関するＰ1の鏡像をＰ’とする。このとき、ＰＭＰ’は直線であり、
ＭＰ’＝ＭＰ
が成り立つ。このような点Ｍを領域 Ｆ の中心とよぶ。
さらに、 Ｆ は１つしか中心を持たない。
仮に、第２の中心Ｎがあったとする。まず、ＰＭをその長さだけ延長すると、
Ｐ’に至る。次にＰ’Ｎをその長さだけ延長すると、
Ｆ の新たな点Ｐ''に至る。さらにＰ''Ｍをその長さだけ延長すると、
Ｆ の点Ｐ'''に至り、Ｐ'''Ｎをその長さだけ延長すると、再び
Ｆ の別な点に至る・・・・。
この操作を絵に描いてみるとわかるように、これを繰り返していくと、
Ｆ が描かれている紙の範囲を超えて
、どんどん遠くまでいってしまう。
もちろん、これはおかしい。したがって、 Ｆ は唯一の中心Ｍを持つ。
さらにＭは、 Ｆ のどの対称軸にも含まれていることがわかる、
実際、Ｍが、 Ｆ の対称軸ｈに含まれないならば、ｈに関するＭの鏡像ｍと
領域内の任意の点Ｐの鏡像ｐが作図できる。
ｐＭをその長さだけ延長して領域内にｐ'をとり、ｈに関するｐ'の鏡像ｐ''を作図する。
ここで、ｐ''は、 Ｆ の点であり、Ｐｍｐ''は直線で、ｍｐ''＝ｍＰだから、
Ｆ が第２の中心ｍを持つことになってしまう。しかし、これは不可能である。
そこで、点Ｆを Ｆ の境界上の固定点として、Ｑを Ｆ の境界上の任意の点とする。
ＦＱの垂直二等分線は、 Ｆ の対称軸の１つだから、Ｍを通る。したがって、
ＭＱ＝ＭＦ
つまり、 Ｆ の境界上のすべての点はＭから等距離にある。
よって、その領域 Ｆ は円である。
故に、面積の等しいすべての平面領域の中で、周長が最小になるものは円である。(証明終わり）
問２
問１の結果を利用して、問２の命題が証明できる。
証明
円ではない任意の領域 Ｆ の周長 ｆ が円領域 Ｋ の周長 ｋ に等しいとする。
また、 Ｆ の面積をＦ、Ｋ の面積をＫとする。
このとき、Ｆ≧Ｋとすると、 Ｋ と同心の円領域 Ｋ' で、
その面積がＫ'＝Ｆであるものを考え、その周長を ｋ' とする。
Ｋ' は、 Ｋ を含んでいるから、
ｋ'≧ｋ ・・・式．２
である。ところが、 Ｆ と Ｋ の面積が等しいから、問１の結果より、
ｋ'＜ｆとなり、
ｋ'＜ｋ ・・・式．３
を得る。しかし、式．２と式．３は互いに矛盾するから、Ｆ≧Ｋという仮定が間違っていることになる。
したがって、Ｆ＜Ｋとなる。
故に、周長の等しいすべての平面領域の中で、面積が最大になるものは円である。(証明終わり）
NO.1917 当然と思える問題・その２(6) 2011.2.12. DDT
１．当然と思える問題・その１
当然と思える問題・その１でもそうなのですが、
周長や面積が最大／最小になったり、正なんとか角形になったりするのは、
状況の対称性が本質だと思えます。
例えば、円に内接する三角形の面積最大が、正三角形になるのは、
図-1のように三角形の底辺aを水平に固定して考えれば、
頂点Ａを円に沿って動かしたとき、左右の対称軸s上にある点Ｃで、
面積が極値をとる事はすぐわかります。
何故ならＣにおいては、左右からの接近（矢印）による面積の増分が左右対称なので、
増分をdＳとすれば、dＳ＝－dＳが必要で、dＳ＝0となるからです。ＣでＳが極大値を取り、
しかも唯一の極大値で最大なのは、図から明らかです。これらも円の等方性を利用すれば、
dＳ＝－dＳみたいな論拠で、じつは定性的に何とかなりそうです。
結論として、底辺aを固定して考えれば、b＝cの二等辺三角形のとき、面積最大となります。
後は円の等方性を利用し、bがaに重なるように回転させれば、a＝cです。
従ってb＝c＝aのときの正三角形で、面積最大となるのがわかります。本質は、
・円の等方性という、対称性．
だと思います。
では、「当然と思える問題・その２．問１．」です。
これも円の等方性を利用すれば何とかなる！、というのが自分の印象です。でも出来ませんでした。
それで腕力に訴え、計算過程を事後に見渡して定性的説明ができないものかと試みましたが・・・。
２．腕力で計算
領域を囲む曲線をＣとします。問題の条件は、面積不変ですから、面積Ａを定数とします。
面積Ａは、Ｃ上の線積分で、次のように表せます。
(1)
ここで曲線Ｃのパラメータcは、Ｃの弧長だとします（便利なので）。
Ａは定数なので、(1)の(x，y)に関する変分は0です。まずＡの(x，y)に関する変分を取ります。
(2)
(2)の2段目から3段目の移行では、
(3)
を使っています。(3)は、閉曲線Ｃの起終点での値の差を表し、Ｃの起終点はＣが閉なので同じであり、当然差も0、という話です。
次に変分(δx，δy) について考えます。(δx，δy)は曲線の変分なので、
δx，δyの内の1個は、自由に選べます。例えば通常の変分では、y＝f(x)と考えるので、
δx＝0かつδy任意です。ここでは、
(4)
と必ず変分を、曲線Ｃの外法線方向へ向くように制限します。制限できて便利だからです。δk(c)が、実質的な曲線Ｃの変分です。(4)を使うと(2)は、
となりますが、cが曲線Ｃの弧長パラメータなので、
(5)
が成り立ちます（便利だ！）。よって、
(6)
です。これはある意味、面積不変の条件から導かれる、当然の結果です。
次に曲線Ｃの長さは、次式で表されます。
(7)
これの(x，y)に関する変分をとると、次式が得られます。
中辺から最右辺への移行に関しては、(5)を使ってます。部分積分し、(3)に関するのと同じ注意のもとで、
です。さらに(4)を使い、
(8)
となります。
準備OKなので、次の変分問題を考えます。
・(1)不変という制約条件のもとで、(7)を最小化する。 (9)
(9)の必要条件は、次で与えられますが証明しません（出来ません・・・）。
でもラグランジュの未定乗数法です。
［定理］
(1)不変の制約条件のもとで、(7)を最小化する必要条件は、ある定数λが存在し、
(10)
の変分が0になる事。
とにかく［定理］を使います。λは定数で、ＬとＡの変分は既に求めてありますから、(10)より
となり、(6)と(8)を代入すれば、
です。変分δkは任意なので、
(11)
が得られます。ここでcがＣの弧長パラメータである事を思い出すと、cの関数hがあり、
(12)
となります。cに関する2階微分は常に、Ｃの接線ベクトルに直行するからです。
これはcの定義から直接導けます（便利だ！）。(12)を(11)に代入すれば、
です。これに(5)を考慮すると、
(13)
という結果になります。この結果には、少々びっくりしました。ポイントは(12)です。
cは曲線Ｃの弧長パラッメータなので、いまＣ上の質点mの運動を考えると、(12)の左辺は、
質量mも速度vも全て、1に規格化された状態での質点加速度と考えられます。つまりm＝1かつ、
です。(12)は、曲線の局所的な曲率半径に載った円運動の、運動方程式と考えられます。
(12)の左辺は、曲率中心への向心加速度です。一般にはその大きさh(c)が、cの場所ごとに変わるので、
ぐにゃぐにゃな曲線という訳です。
いまそのh(c)が(13)より、曲線の場所cによらず一定です。
このような運動は、円運動しかありません。従ってＣは円です。
３．定性的説明求む
2.で、状況の対称性が関係した部分はどこでしょうか？。(11)の左辺がh(c)になるのは、一般的話なので、
右辺が定数になるところに、対称性が関係します。－λの項は、面積の変分、
(14)
から出てきました。(14)中辺を見れば明らかなように、面積の変分は特定の点にも方向にも依存しません。
つまり、
(a)面積の変分は、等方かつ一様性を持つ．
です。これは、面積という量が純粋に図形の内部性質で、図形の形だけで決まるという、当然と言えば当然の結果です。もう一つは、［定理］が使えるためには、面積不変の条件も必要です。それは(14)の＝0で表されます。
(b)面積不変の条件も必要．
(a)，(b)を合わせると、(13)も考慮して、
・面積不変なら、周の最短曲線の曲率変化は、その場所での面積変化に比例する．
・面積は等方量であるから、そのような曲線は、円しかない．
と言えそうなのですが、1.のようなステップが踏めません。どなたか、幾何学音痴（計算屋）にアドバイスをお願いします・・・。
NO.1916 電気抵抗の合成抵抗(3) 2011.2.6. 夜ふかしのつらいおじさん
この問題は任意の有理数の値の抵抗が作れるかを示せば十分だと思います。
「抵抗の個数が、１，２，３，４，５個のとき、それぞれ本質的に異なるものは、１、２、４、１０、２４通り」あることは調べていませんが、抵抗の個数に制限がないとして任意の抵抗を作れることを見ます。
抵抗は直列につなげば和がその抵抗値になります。
抵抗は並列につなげば逆数の和の逆数が抵抗になります。
左の図の合成抵抗は、 a＋bです。
右の図の合成抵抗は、
です。
有理数 m/n の抵抗を作ります。
m＞nの場合は割り算をして整数部分kと真分数 l/n の部分に分けます。
次に真分数の部分を単位分数 
に分けます。
これは次のように抵抗をつなげれば実現できます。
NO.1915 当然と思える問題・その２(5) 2011.2.6. 夜ふかしのつらいおじさん
●問2からやります。
先ず、周の長さを一定にしたときn角形のうち面積の最大は正n角形であることをいいます。
次にnが増加すると面積が大きくなることをみます。
するとn→∞の極限として円になります。
問１は問２から簡単に納得できます。
●周の長さが一定の図形の面積
(1)三角形の場合
△ABCの辺ABを固定し、頂点A、Bを焦点とし、AC＋BC＝一定となるような楕円をかきます。
図のように点C'をとれば、AB+BC+CA＝AB+BC'+C'A、△ABC＜△ABC'は明らかです。
つまり、底辺を固定すれば、周の長さが一定の場合、二等辺三角形のとき面積が最大になります。
固定する辺を変えることを繰り返せば、周の長さが一定の場合、正三角形のとき面積が最大と考えられます。
(2)四角形の場合
□ABCDに対角線ACを引き、△BCAと△DACに分けます。
それぞれを(1)のようにして辺の長さの和が変わらないようにそれぞれ△B'CAと△D'ACに変形します。
（□D'AB'Cはタコ形です）
次に、□AB'CD'に対角線B'D'を引き、△AB'D'と△CD'B'に分けます。
同様にそれぞれ△A'B'D'と△C'D'B'に変形します。
（□D'AB'Cは菱形で、各辺の長さは等しくなります）
菱形は正方形（正四角形）のとき面積が最大になります。
(2)’三辺の等しい四角形の場合（準備）
※ 参照
これより３辺が等しい場合は等脚台形の場合が面積最大となります。（等脚台形は線対称の図形です）
(3)五角形の場合
五角形に対角線を引き２つの図形に分け三角形の方を①のようにして２辺の長さの和を変えずに二等辺三角形に直します。
この操作を繰り返していくと（最大の辺や最小の辺を考えながら）すべての辺の長さが等しくなります。
次ぎに②’のように四角形の方を等脚台形に直します。
すると線対称の各辺が等しい五角形にいなります。
この操作を繰り返していくと正五角形になります。
(4)ｎ角形の場合
(1)、(2)’の操作を繰り返せば、正ｎ角形になることがわかります。
（頂点を１つおきに結んで二等辺三角形をつくり、２つおきに結んで等脚台形をつくります）
以上から、ｎ角形について、周の長さが一定なら正ｎ角形のとき面積が最大と考えられます。
●次に正n角形を比較したとき何角形の面積が大きいか考えます。
○正n角形は円に内接します。（半径をrとします）
正n角形の周の長さを とします。隣り合う頂点と中心を結んで二等辺三角形を考えると等しい２辺の長さがrなので、余弦定理より
だから、正n角形の面積Sは
図のような△OABと半径1の扇形OABと直角三角形OACの面積を比較して、角θが鋭角のとき、
（上の図で中心角θが小さくなるほど弧の長さθと縦線のtanθの長さがどんどん差がなくなります）
以上から正n角形は、周の長さが一定のときnが大きいほど面積が大きくなります。
○n→∞の極限として円が考えられます。
●次に問１を考えます。
上のことから「周の長さが等しい図形で面積が最大となるのは円」です。
だから円Cを周の長さが変わらないように変形して図形DとするとDの面積はCより小さくなります。
次にDをCの面積と同じになるまで拡大した図形をD'とするとD'の周の長さは円Cより長くなります。
D'は円以外のすべての図形でかまわないので説明できたことになります。
●三辺の等しい四角形の場合を考えます。
図は、凹四角形、１つの内角が180°の四角形（三角形）、凸四角形、等脚台形の場合を示しています。
凹四角形は図のように辺の長さを変えずに凸四角形に変形できます。
凹四角形より凸四角形の方が大きいのは明らかです。
□ABCD（三角形）、□A'B'CDの面積を考えます。
右の図のように対角線で２つに分けて考えます。
それぞれAB（A'B'）とBC（B'C'）を底辺としDからの垂線の長さを高さとします。
底辺の長さは同じですが、高さはともに□A'B'CDの方が大きくなります。
よって、□ABCD＜□A'B'CDとなります。
この考えは∠角A'が90°になるまで通用します。
しかし、∠A'が鈍角になると、△A'B'Dは直角のときより小さくなります。（高さが小さくなります）
●さて、□ABCDが等脚台形になる前後を調べます。
長さや角を図のようにおきます。
（後で用いるときのことを考えると2a＜b＜3aとしてよいと思います）
さてここであらかじめ等脚台形のときの面積 を求めておきます。
等脚台形のときの面積 が最大であることをいいたいので、(**)から(*)をひいて調べます。
両辺を２乗すると、
g(θ)について調べます。
αより小さい角を α- 、大きい角を α+ で表します。
値の変化を「符号（絶対値の変化）」で表すことにします。
例えば、３→５は「正（大）」、－３→－２は「負（小）」、－３→－４は「負（大）」とします。
だから、
cosα→cos α- は「正（大）」、cosα→cos α+は「正（小）」、
sinα→sin α- は「正（小）」、sinα→sin α+は「正（大）」、
となります。
となり等脚台形ののとき面積が最大となります。
NO.1914 電気抵抗の合成抵抗(2) 2011.2.6. スモークマン
直列に並んでるものを並列に、またその逆にすれば…1:1対応する…
直列のもの=k
並列のもの=n-k
が並列に並んでるとき…
この場合…k と 1/(n-k) の抵抗なので…
1/{1/k+(n-k)}=k/{k(n-k)+1}
が合成抵抗値…
直列のもの=n-k
並列のもの=k
が直列に並んでるとき…この場合…n-k と 1/k の抵抗なので…
(n-k)+1/k=(k(n-k)+1)/k
と、丁度、逆数関係になっているのがわかる ^^
もっと複雑なときでも...全体で考えれば言えてると思うのですが...^^;?
f(1):1=1/1…1種類
f(2):2,1/2…2種類
f(3):3=1+2=3…2+2=4
f(4):4=1+1+2=1+3=2+2=4…2+4+2*2/2+2=10
f(5):5=1+1+1+2=1+1+3=1+4=1+2+2=2+3=5…2+4+10+2*2/2+2*4/2+2=24
並べる順番を考慮しなければこうなりますね…
f(n) の一般式って出せるんだろうか…?
数の分割式が出せれば使えそう…^^;?
NO.1913 電気抵抗の合成抵抗 2011.2.1. 数学マニア
電気抵抗の値をすべて１オームとして、つなげると、
抵抗の個数が、１，２，３，４，５個のとき、それぞれ本質的に異なるものは、
１、２、４、１０、２４通りとなります。
その抵抗値をみると、必ず逆数の抵抗値が存在することがわかります。
例えば、次の図の、５つの抵抗はすべて１オームとします。そのとき
全ての合成抵抗を、求めると 2/7 であることが分かります。
さて、逆に、５つの抵抗はすべて１オームで作る回路で合成抵抗の値が逆数の 7/2 の値を
持つ５つの抵抗でつくる回路が存在する。
「一般に、合成抵抗値の逆数の値を持つものが、必ず存在することをしめしてください。」
を交換してみると
が得られ、数式からすぐに図が作れます。
