ColloquiumNO.241
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先日、「大学への数学」（2009年3月号）を読んでいて、次のような問題を考えました。
問題１：3次関数ｆ(ｘ)＝ｘ３−３ｘ２−６ｘ＋５について、
（１）ｆ(ｘ)を導関数ｆ’(ｘ)で割った余りを求めよ。
（２）ｆ(ｘ)には極値をとる点が2個あるが、この2点を通る直線の方程式を求めよ。
問題２：ｆ(ｘ)＝−ｘ４＋４ｘ３＋６ｘ２−４ｘについて
（１）ｆ(ｘ)を導関数ｆ’(ｘ)で割った余りを求めよ。
（２）ｆ(ｘ)には極値をとる点が３個あるが、この３点を通る放物線の方程式を求めよ。
問題３ 上の問題１と問題２において、（１）と（２）の答えが同じである理由を考察せよ。
注：この記事に関する投稿の掲載は、2009年４月13日以降とします。
問題１
Ｔ2は次の表で示すことができます。
左と上の見出しの数をかけたものです。
１から１４までの和、１０５個あります。
15Ｃ2でも数えられます。
それらの数を表のように分類します。
後で使うので、右の表のように各行から最後の１４行目までそれぞれいくつあるか数えておきます。
解答は右の表の１行目を読んで、Ｔ2（２）＝７７、Ｔ2（５）＝３９、Ｔ2（１０）＝２６です。
問題２
Ｔ3は次のようになります。
表の左上の黄色の数と左と上の数をかけたもので、太線で囲まれた部分です。
左上の数が１のときは、分類に変化はありません。
黄色の数が１だけ増えると枠が１つ分小さくなります。
Ｔ3は１から１３までの和、１から１２までの和、・・・、１から１までの和の合計の４５５個あります。
左上の数が１のときは、分類に変化はありません。
左上の数が２のときは、すべてが２の倍数になり、５の倍数であったものは１０の倍数になります。
・・・・
以下個数を数えます。
解答は表より
Ｔ3（２）＝399、Ｔ3（５）＝235、Ｔ3（１０）＝199
問題３
Ｔ4は次のようになります。
表の左上の黄色の２数と左と上の数をかけたもので、太線で囲まれた部分です。
・・・・
以下個数を数えるために、次の場合の個数を調べておきます。
左上の数のそれぞれの場合の個数を数えます。
解答は表より
Ｔ4（２）＝1295、Ｔ4（５）＝870、Ｔ4（１０）＝815
昨日、３月14日は、円周率にちなんで「数学の日」ということです。
この「数学の日」に、大学時代にゼミでお世話になった藤原正彦先生の
最終講義を受けてきました。
幼少時代のお話から、アメリカでの経験をお書きになった「若き数学者のアメリカ」の出版、
父親である新田次郎氏との関係、ケンブリッジ大学での様子、
そして数学と文学にも触れられました。
数学の世界では、美的感受性が大切であり、
繊細な自然の中で生きている日本人はこれをもっていると。
改めて、素晴らしい先生にご指導いただけたからこそ、
今の自分があるのだと思いました。
サンクトペテルブルクの総合技術大学の入試問題を紹介します。
（青少年物理・数学雑誌「クヴァント」2008年No.2より）
日本語にすると、こんな感じです。
サンクトペテルブルク国立総合技術大学
数学 試験問題
ヴァリアント１（物理・力学学部）
１．次の式を簡単にせよ。
２．次の不等式を解け。
３．与えられた関数のｘ＝１における微分係数を求めよ。
４．長方形の辺の１つが25%だけ増す。面積を前と同じにするには、
他の辺を何％減少させなければならないか。
５．次の不等式を解け。
６．ｘ１、ｘ２が、与えられた方程式の
解をすると、ｘ１３ｘ２５＋ｘ１５ｘ２３の値はいくらか。
７．与えられた式の値を求めよ。（ctgは、コタンジェント）
８．次の方程式を解け。
９．次の式の値を求めよ。
１０．a、ｂでは、どちらの数が大きいか。
１１．次の方程式を解け。
１２．はじめの２０項の中に３３、４８、８８がある整数項の増加する等差数列の
公差を求めよ。
１３．次の式の値を求めよ。(arcsinは、sinの逆関数）
１４．次の方程式を解け。
１５．次の関数の定義域を求めよ。
１６．次の関数の値域を求めよ。
１７．次の方程式を解け。
１８．直角三角形の直角の頂点から引いた角の二等分線と中線とのなす角のサインは、
1/
に等しい。二等分線の長さが３のとき、この三角形の面積を求めよ。
１９．表面積が16
の正四角錐の体積を計算せよ。
２０．パラメータａ＞０の値がいくらのとき、次の２つの円は互いに接するか。
総合テレビ「NHKスペシャル」で
ポアンカレ予想解決の経緯を綴った「１００年の難問はなぜ解けたのか」が，
３月９日 ２２：００ー２２：５９に再放送されます。
詳しくは、こちら
前回見逃された方はどうぞご覧ください。
先日、生徒から受けた質問から次のような問題を考えました。
今、1から数えて順に15まで自然数がある。ここから重複を許さずｎ個の数を選び、
それらを全部掛け合わせて得られる数をＴｎとする。ここで、Ｔｎがｋの倍数となる個数
(注：Ｔｎの個数ではなく、選んだ n 個の数の組の個数）を
Ｔｎ（ｋ）と表すことにする。例えば、Ｔ１（２）＝７、Ｔ１（３）＝５、Ｔ１（５）＝３
となります。それでは次の質問に答えてください。
問題１：Ｔ２（２）、Ｔ２（５）、Ｔ２（１０）の値を求めよ。
問題２：Ｔ３（２）、Ｔ３（５）、Ｔ３（１０）の値を求めよ。
問題３：Ｔ４（２）、Ｔ４（５）、Ｔ４（１０）の値を求めよ。
注：この記事に関する投稿の掲載は、2009年３月23日以降とします。
問題１
問題２
（１）
（２）
問題３
（１）
（２）
問題２の（１）より、α＝2、β＝3です。
（３）
問題４
（１）
（２）
（３）
（４）
高校数学でもお馴染みの重複組合せの問題に a1＜a2＜a3＜・・・＜am という
条件が一つ加わるだけで思わぬ面白い問題になりました。
試行錯誤していくうちに【参考３】のように漸化式できれいに表せたので、大変喜んでいます。
f(m,n)の一般式を求めるのは可能でしょうか。
問題 a1＜a2＜a3＜・・・＜am ,
a1+a2+．．．+am=nを満たす
ｍ個の自然数の組合せの数をf(m,n)とするとき、f(m,n)の一般式を求めよ。
例１ m=4,n=18のとき、
(1,2,3,12),(1,2,4,11),(1,2,5,10),(1,2,6,9),(1,2,7,8),(1,3,4,10),(1,3,5,9),(1,3,6,8),(1,4,5,8),(1,4,6,7),
(2,3,4,9),(2,3,5,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7),
(3,4,5,6)
よって、f(4,18)=15
【参考１】ｍ＝２のとき、関数INT（整数化、切り捨て）を用いて
f(2,n)=INT((n-1)/2)
【参考２】ｍ＝３のとき
(1)n=3k+1,3k+2のとき、f(3,n)=( n-1Ｃ2 -3*int{(n-1)/2} )/3!
(2)n=3k のとき、f(3,n)=( n-1Ｃ2 -3*[(int{(n-1)/2}-1] -1 )/3!
重複組合せ n-1Ｃ2 から、同じ数が２個となる場合を引き、
さらにｎが3の倍数の時は３個とも同じ数になる時を引いて３の階乗で割ると考えました。
ただし、この考え方ではｍが増えるに従って同じ数になる場合が増えるので、
一般化は難しいように思えます。
【参考３】
ただし、t=MOD(n,m), s=INT(n/m), n=m*s+t
例２ m=4,n=18のとき、ｓ=4,t=2となり、
f(4,18)=f(3,6)+f(3,10)+f(3,14)=1+4+10=15
f(3, 6)=f(2,3)=1←例１の(3,*,*,*)のとき
f(3,10)=f(2,4)+f(2,7)=1+3=4←例１の(2,*,*,*)のとき
f(3,14)=f(2,5)+f(2,8)+f(2,11)=2+3+5=10←例１の(1,*,*,*)のとき
ｍについての漸化式できれいに表せるので、もう一息で一般式も導かれるのではと思っています。
