コロキウム室 NO.222

NO.1684　　分配問題　　2007.8.15　　水の流れ

先日生徒から、次のような分配問題の質問を受けました。一般の場合まで考えて作問をしました。

問題１：
1から５までの番号のついた５個のボールを、Ａ，Ｂの２つの箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるか。

問題２：
1から５までの番号のついた５個のボールを、Ａ，Ｂ，Ｃの３つの箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるか。

問題３：
1から５までの番号のついた５個のボールを、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４つの箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるか。

問題４：
一般に、異なるｍ個のボールを、異なるｎ個の箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるかを、包除の原理を用いて、ｍ、ｎと和の記号シグマを用いて表せ。ただし、ｍ≧ｎとする。

問題５：
問題４で得た式を用いて、1から６までの番号のついた６個のボールを、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの５つの箱に、どの箱にも少なくとも１個のボールが入るように入れる入れ方は何通りあるか。

注：この記事に関する投稿の掲載は、２００７年９月３日以降とします。

(1)

(2)

(3)

であり、かつ数列｛a_ｎ｝において、任意のｎに対して、 a_ｎ＞０のとき、

が成り立つから、a_ｎに対数をとり、極限値を求めることができる。

と変形できるから、極限値は、

＜追記＞
(3)の極限値は、スターリングの公式

（自然数ｎが大きいとき）
から容易に想像できますが、積分を使って求められるのは興味深いです。

(1)

(2)

(3)