Colloquium

NO.221
Weekend Mathematicsコロキウム室/NO.221

NO.1681  極限値と定積分   2007.7.23  水の流れ

第194回数学的な応募問題


皆さん、微分積分学を学んでいくと、綺麗で美しいなーと思える公式に出会います。 太郎さんは 大学入試問題で極限値を求めるときに、下の公式を利用します。

<出典:(1)、(2)は2006年芝浦工業大学(工学)(3)は日本数学検定協会監修の1級の問題集から>

注:この記事に関する投稿の掲載は、2007年8月13日以降とします。

NO.1680  三角形の面積(2)  2007.7.23  夜ふかしのつらいおじさん

問題1
右の図で点線は中線です。
GD=k、GE=m、GF=nは重心からの垂線です。
BC=a、CA=b、AB=cとします。
△ABCの面積をSとします。
Gが重心なので、中線が頂点の方から2:1に内分されているので、 △GBC=△GCA=△GAB(=S/3)です。すると、ak=bm=cn(=2/3 S)です。 この値をpとおくと

   a=p/k、b=p/m、c=p/n ・・・ (1)

です。
ヘロンの公式


より、


これに(1)を代入し整理します。


一方


(2)、(3)を連立させて


整理して


ここでk=4、m=5/3、n=20/13を代入すると、S=30

問題2
上の(4)が答です。

NO.1679  三角形の面積  2007.7.2  水の流れ

第193回数学的な応募問題


先日、大学時代の数学科の仲間に会う機会がありました。その中で次のような問題を紹介されました。 でも、答えまでの言及はありません。皆さん!考えてください。

三角形ABCがあり、その重心をGとする。Gから辺BC,CA、ABまでの垂線の長さをそれぞれ k、m、nとするとき、次の問題を解いてください。
問題1:k=4,m=5/3,n=20/13のとき、三角形ABCの面積を求めよ。
問題2:三角形ABCの面積をk、m、nで表してください。


注:この記事に関する投稿の掲載は、2007年7月23日以降とします。

NO.1678  勝敗の差(2)  2007.7.2  夜ふかしのつらいおじさん

問題1
考えやすいように、勝つ確率をp、負ける確率をqとします。 ただし、pもqも1/2で同じ値です。 すると勝敗の差の期待値E2n-1は、



ここで、p+q(=1)を掛けます。



ここで、pとqの積は次数が同じならすべて等しいので



となり示されました。 下から4行目は、k-1番目とk番目の式を並べています。 ちょっと分かりづらいので具体的にE3で書いてみます。



問題2







問題3



つまり



nを1下げて



この式について、nを2からnまで変えると



これらの式をE2k-1=E2kに注意して加えると



ここで、E2=1、E2n-1=E2nに注意すると



問題4
ウォーリスの公式を、
n→∞のとき、
とすると、変形して
n→∞のとき、
この式の左辺は、
だからnが大きいときには、
(★)の式がまとまれば良いのですが、どうもうまくいきません。
そこで、n=3までは問題2の解答を用い、n=4以降は(★★)の式を用いて エクセルで計算するとだいたい、

   9.30355・・・

となります。

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