Colloquium

NO.212
Weekend Mathematicsコロキウム室/NO.212

NO.1633  4つの町を訪問  2006.12.25.  真夏のサンタ

次の問題に関して疑問を持っています。

ある人がA、B、C、Dの4つの町を訪ねます。この人は忘れっぽく、 1度行った町のことはすぐに忘れます。 そのためある町から次にどの町に移動するかは常に3分の1の確率です。 この人が全ての町に行くには何回移動すればよいでしょうか?平均をもとめてください。

NO.1632  自然数の分割  2006.12.25  水の流れ

第184回数学的な応募問題

自然数nをいくつかの自然数の和として、

   n=n+n+・・・+n(r≧1)

の形に表すことを考える。この分割の総数をQ(n)とする。
例えばn=3のとき、1+1+1、1+2、2+1、3 の4通りに表されるから、Q(3)=4となる。 次に、項の順序を考えた 1≦n≦n≦・・・≦n のときの総数をP(n)とする。 例えばn=3のとき、1+1+1,1+2,3の3通りになるからP(3)=3となる。 さらに、ここで、nをこのような和で表すすべての表し方について、 項の積

   n×n×・・・×n

を考え、その最大値をM(n) とする。 例えばn=3のとき、項の積は1×1×1=1,1×2=2,3となるから、M(3)=3となる。 ここから、問題です。

問題1:Q(n)を求めよ。 最初に、n=1,2,3,4,5,6と具体的に求めてから、考えてください。 答えは指数の形でも良い。

問題2:P(n)をnで表したいのですが、未解決問題でして、 そこで、n=1,2,3,4,5,6、7,8,と具体的に求めてから、 n=20までのP(n)を知りたい。ここは、オイラーの5角数定理を用いて、 次の漸化式を利用してください。

   P(n)=P(n―1)+P(n―2)―P(n―5)―P(n―7)+P(n―12)+P(n―15)―P(n―22)―P(n―26)+・・・
   ただし、P(0)=1とする

問題3:M(n)を求めよ。 最初に、n=1,2,3,4,5,6、7、8と具体的に求めてから、考えてください。

注:この記事に関する投稿の掲載は、2007年1月15日以降とします。

NO.1631  最高位の数字(2)  2006.12.25.  夜ふかしのつらいおじさん

この問題は数学的に解いたというわけではありません。

エクセルで数えた個数
N123456789
個数1679968544537313024555

無限個のときからの予想
12345678910
常用対数0.00000.40100.47710.60210.69900.77820.84510.90310.95421.0000
"先頭の数字がNの確率"0.40100.17610.12490.09690.07920.06690.05800.05120.04581.0000
"555個のときの予想"167.197.769.353.843.937.232.228.425.4555

先頭の数字Nが4ということは、

   4×10k≦ 2n < 5×10k

となる整数kがあるということです。 常用対数をとると、log(5)=log(10/2)=1−log(2)なので

    k+2log(2) ≦ nlog(2) < (k+1)−log(2)


この図は、k=0で、n=1のときの様子を表しています。 右に書ききれないので下につなげています。 青の点は間隔がlog(2)で、黄色いゾーンは間隔が1ごとに現れます。 図の黄色いところに、青の点が入れば、先頭の数字が4ということになります。 間隔が有理数と無理数なので、周期のある関係にはなりえません。 先頭の数字がNということは、

   N×10k ≦ 2n < (N+1)×10k

となる整数kがあるということです。 常用対数をとると、

   k+log(N) ≦ nlog(2) < k+log(N+1)

となるので、kから(k+1)の幅1の範囲で、先頭の数字がNとなるゾーンは、

   log(N+1)−log(N)=log(1+1/n)

の幅があるということになります。

NO.1630  朝日新聞「ニッポン人脈記」  2006.12.16.  Junko

朝日新聞の夕刊に連載されている「ニッポン人脈記」 では、12月11日(月曜日)から、〈数学するヒトビト〉 がテーマになっています。 第1回目は、ゼータ関数や、加藤和也氏作「素数の歌」なども登場します。 第4回では、雑誌「大学への数学」がテーマになっています。来週の記事も楽しみです。

NO.1629  最高位の数字(1)  2006.12.4.  水の流れ

第183回数学的な応募問題

皆さん、今年度早稲田大学(教育学部)の入試問題を参考して出題します。是非チャレンジください。

555は十進法で表すと168桁の数で、その最高位(先頭)の数字は1である。 集合{2|nは整数で1≦n≦555}の中に、十進法で表した最高位の数字Nについて、

問題:N=4は何回現れるか。

追加問題、N=1,2,3,5,6,7,8,9はそれぞれ何回現れるか気になります。誰か教えてください。

注:この記事に関する投稿の掲載は、12月25日以降とします。

NO.1628  群数列(2)  2006.12.4.  夜ふかしのつらいおじさん

問1:


問2:


問3:




戻る