Colloquium

NO.1619　　約数の個数　　2006.10.23.　　水の流れ

第１８１回数学的な応募問題

皆さん、今年度の香川大学の入試問題を参考して出題します。是非チャレンジください。

数列｛ａ_ｎ｝を次のように定める。
　　　ｎの正の約数の個数が偶数ならば、ａ_ｎ＝０
　　　ｎの正の約数の個数が奇数ならば、ａ_ｎ＝ｎ

問題１：初項ａ_１から第８項ａ_８までの値を求めよ。

問題２：ａ_ｎ＝ｎとなるようなｎはどのような数か理由をつけて答えよ。

問題３：初項ａ_１から第２００６項ａ_２００６までの和を求めよ。

問題４：初項ａ_１から第ｎ項ａ_ｎまでの和が２００６以下となるようなｎの最大整数を求めよ。

注：この記事に関する投稿の掲載は、１１月１３日以降とします。

NO.1618　　第ｎ次導関数(3)　　2006.10.23.　　K.F.

対数関数の微分法と積の微分公式を用いると、f₁(x)〜f₇(x)について、 それぞれ下記の導関数が求まる。

よって、問１の解は、。 問２の解は、。 問３の解は、。

問４の解

fⁿ(x)=g(n)/x　とすると、下表のようになる。

n	1	2	3	4	5	6	7
g(n)	1	1	2	6	24	120	720

表から、g(n+1)/g(n)=n　が成り立つように見えるから、g(n)=(n-1)!　すなわち、 が類推できる。

問５の解（数学的帰納法による証明）
(i) n=1のとき、明らかに成り立つ。
(ii) n=kのとき、成り立つと仮定すると、　（式１）
ところで、f_k+1(x)=x^klog x、f_k(x)=x^k-1log x なので、 f_k+1(x)=xf_k(x)となり、積xf_k(x)にLeibnizの法則を用いて微分すると、

　（式２）

となる。式１、２より、

が成り立つ。故に、(i)、(ii)より、

である。　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）

NO.1617　　第ｎ次導関数(2)　　2006.10.23.　　蜘蛛の巣城

後の簡単のために、補助定理を示し証明しておきます。

補助定理：関数ｆ､ｇがｎ階まで微分可能であるとき

　　　

証明　　積の微分法を利用して

　　　

いずれも補助定理の形に収まります。
もし補助定理の形を仮定すれば微分して

　　　

再び補助定理の形に収まります。　　　　　　　　　　以上

本論です。

　　　

について

　　　

補助定理を使って次の事実を得ます。第１式右辺第２項は定数であることにご注意あれ。

　　　

同様に

　　　

以上から次の形が推定されます。

　　　　　推定形

先ず、ｎの値１から４まで推定形に収まることは当然です、推定のもとですから。
また、推定形の成立を仮定して次の証明を得ます。
補助定理と仮定を使用して

　　　

再び推定形に収まります。第１式右辺の第２項は仮定により定数です。
以上によって、推定形の成立が保証されました。

NO.1616　　半整数四角形の問題　　2006.10.1.　　水の流れ

第１８０回数学的な応募問題

皆さん、「中尾さん」から頂いた問題にチャレンジください。
＜中尾さんからのコメント： 最近、教えて！gooで、 「ラングレー問題（角度の問題の難問）を補助線なしで解きたい」 を見かけたので、類似の問題を考えてみました。

問題　　半整角四角形の問題

四角形ABCDにおいて、∠ABD=(5/2)°,∠DBC=(125/2)°,∠ACB=(165/2)°,∠ACD=5°のとき、 ∠ADBを求めよ。

注：この記事に関する投稿の掲載は、１１月１日以降とします。

NO.1615　　第ｎ次導関数(1)　　2006.10.1.　　水の流れ

第１７９回数学的な応募問題

ｆ_ｎ(ｘ)＝ｘ^ｎ―１log x のとき、次の問に答えよ。 ただし、log x　は自然対数とする。

問１：ｎ＝１のとき、第１次導関数　ｆ^'(ｘ)を求めよ。

問２：ｎ＝２のとき、第２次導関数　ｆ^''(ｘ)を求めよ。

問３：ｎ＝３のとき、第３次導関数　ｆ^'''(ｘ)を求めよ。

問４：関数ｆ_ｎ(ｘ)の第ｎ次導関数　ｆ^(ｎ)(ｘ)を類推して、ｎを用いて求めよ。

問５：関数ｆ_ｎ(ｘ)の第ｎ次導関数　ｆ^(ｎ)(ｘ)の類推が正しいことを、数学的帰納法で証明せよ。

注：この記事に関する投稿の掲載は、１０月２３日以降とします。

NO.1614　　完全順列(5)　　2006.10.1.　　蜘蛛の巣城

問１．
　 　 　 　

初項から第３項まではすぐわかります。第４項を導いた方法だけを書いておきます。 箱の番号は左から順につけます。数字は球の番号です。 図１は「３個の順列」をすべて示してあります。赤数字は箱と球の番号が一致しています。

図１

(1)	(2)	(3)
(1)	(3)	(2)
(2)	(1)	(3)
(2)	(3)	(1)
(3)	(1)	(2)
(3)	(2)	(1)

図２は図１のすべての順列に箱４を足して球(4)を入れてつくります。 「４個の順列」の一部です。当然すべての順列は「失格」です。

図２

(1)	(2)	(3)	(4)
(1)	(3)	(2)	(4)
(2)	(1)	(3)	(4)
(2)	(3)	(1)	(4)
(3)	(1)	(2)	(4)
(3)	(2)	(1)	(4)

図２の球(4)と球(1)を入れ替えて図３をつくります。 箱と球の番号が一致するもの同士を入れ替える点で、 １段２段は３段目以下と区別できます。

図３

(4)	(2)	(3)	(1)
(4)	(3)	(2)	(1)
(2)	(4)	(3)	(1)
(2)	(3)	(4)	(1)
(3)	(4)	(2)	(1)
(3)	(2)	(4)	(1)

図３で１段２段の合格数は、箱２箱３と球２球３でつくる「２個の順列」の合格数と同じです。 また、図１をみればわかるとおり３段目以下に「３個の順列」の合格の場合がすべて含まれていて、 且つ入れ替えの影響を受けませんから、３段目以下の合格数は「３個の順列」の合格数に等しいわけです。 ところで、「４個の順列」のすべては図２図３に加えて、 (4)と(2)また(4)と(3)の入れ替えをすれば得られますから次の式を得ます。

　　　

問２．
　 　 　 　 　　　

前問の解答文を一般化して書き表せばそのまま解答になります。略。

問３．前問の一般式を展開して

　　　

を得ます。公比 、初項 の等比数列の一般項は

　　　

です。

問４．前問の結果を　n! で割ると

　　　

簡単のために

　　　

としていいでしょう。階差数列の和を利用して次の式を得ます。

　　　

ところで

　　　

を借用すると

　　　

したがって

　　　

この事例からは「自然対数の底」がいかに自然な数であるかが感じられます。 彼の立場からみれば、整数などは醜悪な理解しがたい数に見えるのかも。

NO.1613　　完全順列(4)　　2006.10.1.　　松井　満

NO.1612　　完全順列(3)　　2006.10.1.　　meira

題意の完全順列{a_n}の漸化式を求める。
1番目の箱にi(2≦i≦n)番目の球を入れて,j(2≦j≦n)番目の箱に1番目の球を入れる とすると
i＝jの場合,i番目の球と1番目の球を除く1からn-2までの完全順列でa_n-2通 り。……(1)
i≠jの場合,i番目の球を除く1からn-1までの完全順列でa_n-1通り。……(2)
(1),(2)の最初の球の選び方は1番目の球を除くn-1通りの選び方があるので,漸化式 a_nは

　　　a_n=(n-1)(a_nｰ1+a_n-2)……(1)

問1
(1)のnに1から4まで当てはめると

n	1	2	3	4
an	0	1	2	9

問2
(1)

問3
(1)を変形して a_n-na_nｰ1=(-1)(a_nｰ1-(n-1)a_n-2) 数列{a_n-na_nｰ1}は初項{a₂-2₁}=1,公比-1の等比数列であるので数列 {a_n-na_nｰ1}は

　　　a_n-na_nｰ1=(-1)^n-2=(-1)ⁿ……(2)

問4
1からnまでの並べ方はn!通りあるので,題意の確率P_nは

　　　P_n=a_n/n!……(3)

(2)から数列{a_n}を求める。 (2)の両辺をn!で割ると

　　　(a_n/n!)-(a_nｰ1/(n-1)!)=((-1)ⁿ)/n!

階差数列の求め方から

　　

ここで,1!{((-1)⁰/0!)-(-1)(1)/1!}=1(1-1)=0を利用して

　　・・・(4)

これで数列{a_n}の一般項が求められた。
(4)を(3)に代入して

　　

自然対数の底をeとして,e^xを級数展開して

　　

これにx=-1を代入し,nまで展開すると,

　　　となる。

よってn→∞のとき,P_nの極限値は(1/e)。

NO.1611　　完全順列(2)　　2006.10.1.　　夜ふかしのつらいおじさん

問１　ａ_１＝０、ａ_２＝１、ａ_３＝２、ａ_４＝９

問２　ａ_ｎ＝(ｎ−１)(ａ_ｎ−１＋ａ_ｎ−２)

問３　ａ　_ｎ−ｎａ_ｎ−１＝(−１)^ｎ

問４　

問１は具体的に調べます。ａ_１＝０は明らかです。

表１

No	１　２	１　２　３	１　２　３　４
１	２　１	２　３　１	２　１　４　３
２		３　１　２	２　４　１　３
３			２　４　１　３
４			３　１　４　２
５			３　４　１　２
６			３　４　２　１
７			４　１　２　３
８			４　３　１　２
９			４　３　２　１

さて、この球の入れ方を次ぎのように表すことにします。 ａ_４の場合を例にします。

表２

No	１　２　３　４	表現
１	２　１　４　３	(12)(34)
２	２　４　１　３	(1234)
３	２　４　１　３	(1243)
４	３　１　４　２	(1342)
５	３　４　１　２	(13)(24)
６	３　４　２　１	(1324)
７	４　１　２　３	(1432)
８	４　３　１　２	(1423)
９	４　３　２　１	(14)(23)

(12)と(21)とは、同じものですが、括弧（　）の中は最小の数を先頭に書くことにします。 ａ_４の場合は、(oooo)、(oo)(oo)（注：ooは何か数字）の２つのパターンがあり、 括弧（　）の中で閉じています。 ａ_３の場合は、(ooo)の１つのパターンしかありません。
さて、問２は次のように考えます。ａ_３からａ_４に拡大する場合で 説明します。ａ_３の場合球の入れ方は次の２通りです。

　　　(123),(132)

これをもとに{４}をつけたすことを考えます。
次のaからcの場合があり順に表２のNo：８，３，２（左のとき），７，４，６（右のとき）になります。 （ａ_３ ×　_３Ｃ_１ ・・・★）

　　　(１_ａ２_ｂ３_ｃ),　(１_ａ３_ｂ２_ｃ)

しかし、この方法ではつけたす{４}と他の数の２つで閉じる(2)のパターンが出てきません。
そこで、４と組み合わせる数を{１,２,３}から選び残る２つの並べ方を考えます。 （_３Ｃ_１ × ａ_２・・・ ★★） この２つの場合（★と★★）を合計すれば良いので、一般的に表現すれば、

　　　ａ_ｎ＝_ｎ−１Ｃ_１(ａ_ｎ−１＋ａ_ｎ−２) ・・・ ▲

問３は難しいので具体的にやってみます。
まず、ｎが偶数のときは、
　　ｎ＝２のとき、ａ_２−２ａ_１＝１−２×０＝１
　　ｎ＝４のとき、ａ_４−４ａ_３＝９−４×２＝１
次に、ｎが奇数のときは、
　　ｎ＝３のとき、ａ_３−３ａ_２＝２−３×１＝−１
まとめて、

となりそうです。良い説明を思いつかないのでこじつけます。
ｎが小さいときは具体的に調べて確認できているので、 ｎ以下のときに▲▲の式が成立すると仮定します。 ▲の式は正しいものとしてとしてｎ＋１のときは、

問４は強引にやってみます。