Colloquium

NO.1606　　二等辺三角形？　　2006.8.21.　　水の流れ

第１７７回数学的な応募問題

皆さん、平面幾何の問題で、一見簡単そうで解きづらいことがありませんか。 この問題がいい例になります。チャレンジください。

三角形の二つの角のそれぞれの二等分線を引き、それぞれの線が対辺に交わる点までの長さが等しいとする。 (図のＢＤ＝ＣＥ） このとき、この三角形は二等辺三角形であることを証明してください。

注：この記事に関する投稿の掲載は、９月１１日以降とします。

NO.1605　　発散する無限級数　　2006.8.7.　　K.F.

先日、興味深い、発散する無限級数について証明しましたので、お知らせします。

一辺ｒの正方形を、右方向に無限につなげた図形(fig.1)を考える。

この時、ｍ₁、ｍ₂、・・・、ｍ_k　および sinθ₁、sinθ₂、・・・、sinθ_kの値は、table1のようになる。

０＜θ_k＜π/2であるから、あきらかに全てのθ_kについて、

　　　sinθ_k＜θ_k＜tanθ_k　(k＝１、２、３・・・)

である。よって、

　　　sinθ₁＋sinθ₂＋sinθ₃＋・・・＜θ₁＋θ₂＋θ₃＋・・

table1　およびfig.2、式１より式２が成り立つ。

式１．

式２．

故に、

NO.1604　　ゲームの引き際　　2006.8.1.　　水の流れ

第１７６回数学的な応募問題

皆さん、賭け事のゲームをしていて、いつやめるかの引き際を考えたことはありませんか。

『Ａ』　ここに、目が自然数の１から６までの正６面体のサイコロがあります。

問題１：正６面体のサイコロを１回または２回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。 １回振って出た目を見たうえで２回目を振るか否かを決めるのである。どのように引き際を判断すると良いか。

問題２：上と同様のゲームを３回振ることが可能なら、２回目、３回目を振るか否かの決定は、 どのようにするに引き際を判断すると有利か。また、このゲームで得点の１００倍のお金がもらえるとき、 掛け金４００円を払って挑戦するのは得か損か。

さて、『Ｂ』今度は目が自然数の１から２０までの正二十面体のサイコロに変えます。

問題３：正２０面体サイコロを１回または２回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。 １回振って出た目を見たうえで２回目を振るか否かを決めるのである。どのように引き際を判断すると良いか。

問題４：上と同様のゲームを３回振ることが可能なら、２回目、３回目を振るか否かの決定は、 どのように引き際を判断すると良いか。

問題５：さらに、上と同様のゲームを５回振ることが可能なら、２回目、３回目、４回目、５回目を振るか否かの決定は、 どのように引き際を判断すると良いか。 また、このゲームに得点の１００倍のお金がもらえるとき、掛け金１５００円を払って挑戦するのは得か損か。

注：この記事に関する投稿の掲載は、８月２１日以降とします。