Weekend Mathematicsコロキウム室/NO.206

コロキウム室



NO.1601 2006.6.25.まこぴ〜平方数の和と差(5)

副題:「平方数の和と差」から「平方数の和」へ・・・そして・・・

例によって

   

とします。

   

   V’={x|x:整数、0≦x≦S}−V

という3つの集合族{U},{V},{V’}を考えます。 言葉で言い表すと、次のような感じでしょうか:

   U:「長さnの式」の集合。
   V:「n以下の自然数の平方数の和」の集合。
   V’:「『n以下の自然数の平方数の和』の形で表現できない、Sn以下の自然数」の集合。

そこで、

   ξ(i)=0 のとき σ(i)=−1
   ξ(i)=1 のとき σ(i)=1

という対応のもとにUとVは「式」のベースで一致し、さらにこの対応から

   f(x)=(x+S)/2

で、UとVに「値」としての1対1対応を与えることができます。
つまり、「平方数の和と差」を考えることが「平方数の和」を考えることに置き換わります。

{V}{V’}を「値」で書き出してみます。

={0}
={0,1}
={0,1,4,5}
={0,1,4,5,9,10,13,14}
={0,1,4,5,9,10,13,14,16,17,20,21,25,26,29,30}
={0,1,4,5,9,10,13,14,16,17,20,21,25,26,29,30,34,35,38,39,41,42,45,46,50,51,54,55}
={0,1,4,5,9,10,13,14,16,17,20,21,25,26,29,30,34,35,36,37,38,39,40,41,42,45,46,49,50,51,52,53,54,55,56,57,61,62,65,66,70,71,74,75,77,78,81,82,86,87,90,91}

V’={} (空集合)
V’={}
V’={2,3}
V’={2,3,6,7,8,11,12}
V’={2,3,6,7,8,11,12,15,18,19,22,23,24,27,28}
V’={2,3,6,7,8,11,12,15,18,19,22,23,24,27,28,31,32,33,36,37,40,43,44,47,48,49,52,53}
V’={2,3,6,7,8,11,12,15,18,19,22,23,24,27,28,31,32,33,43,44,47,48,58,59,60,63,64,67,68,69,72,73,76,79,80,83,84,85,88,89}

となります。V、V’について

 1.  V⊂Vn+1
 2.  P∈V  ならば  S−P∈V
 3.  P∈V’ ならば  S−P∈V’

が成り立ちます。

(証明)
P∈Vとすると、ξ(i)∈{0、1}によって

   

と表すことができる。

1.

   ξ’(i)=ξ(i) (1≦i≦n)
      =0    (i=n+1)

とすると、ξ’(i)∈{0、1}で

   

2.

   ξ’(i)=1−ξ(i)

とすると、ξ’(i)∈{0、1}で

   

3.

2.の対偶である。(証明終わり)

を、強引に表現するとすれば、

   V=Vnー1∪(Vnー1+n

となります。ただし、加法「+」が定義できる集合Aがあり、b∈A、B⊂Aにたいして、

   B+b={x+b|x∈B}

とおきます。

V’の元の個数を観察して、驚きました。(プログラムにて検証)
  注)#(A)は、集合Aの元の個数を表します。

#V’= 0
#V’= 0
#V’= 2
#V’= 7
#V’= 15
#V’= 28
#V’= 40
#V’= 52
#V’= 58
#V’= 62
#V’10= 62
#V’11= 62
#V’12= 62

n≧9であれば、どうやら#V’= 62 となる「らしい」。
さらに、上述の2.3.により

4.V,V’の分布はS/2を中心に対称な配置となる。

ついでに、V’の「前半の31個」は、n>9であれば

   X={2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128}

で固定されている(プログラムで計算)。この31個は、平方数の和との形に表現できない自然数です。 では、

   問題:「平方数の和とはならない数」が、この31個だけか?

が次の課題となる。上に挙げた31個は、プログラムではじきだしただけであるので、証明には、程遠い。 これが、解決できれば、議論を逆にたどることで、大元の「長さnの式」Uを全て求めることになる。 挑戦は続く・・・・





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