| NO.1601 | 2006.6.25. | まこぴ〜 | 平方数の和と差(5) |
副題：「平方数の和と差」から「平方数の和」へ・・・そして・・・
例によって
とします。
Ｖ’ｎ＝｛ｘ｜ｘ：整数、０≦ｘ≦Ｓｎ｝−Ｖｎ
という３つの集合族｛Ｕｎ｝，｛Ｖｎ｝，｛Ｖ’ｎ｝を考えます。
言葉で言い表すと、次のような感じでしょうか：
Ｕｎ：「長さｎの式」の集合。
Ｖｎ：「ｎ以下の自然数の平方数の和」の集合。
Ｖ’ｎ：「『ｎ以下の自然数の平方数の和』の形で表現できない、Ｓｎ以下の自然数」の集合。
そこで、
ξ（ｉ）＝０ のとき σ（ｉ）＝−１
ξ（ｉ）＝１ のとき σ（ｉ）＝１
という対応のもとにＵｎとＶｎは「式」のベースで一致し、さらにこの対応から
ｆｎ（ｘ）＝（ｘ＋Ｓｎ）／２
で、ＵｎとＶｎに「値」としての１対１対応を与えることができます。
つまり、「平方数の和と差」を考えることが「平方数の和」を考えることに置き換わります。
｛Ｖｎ｝｛Ｖ’ｎ｝を「値」で書き出してみます。
Ｖ０＝｛0｝
Ｖ１＝｛0,1｝
Ｖ２＝｛0,1,4,5｝
Ｖ３＝｛0,1,4,5,9,10,13,14｝
Ｖ４＝｛0,1,4,5,9,10,13,14,16,17,20,21,25,26,29,30｝
Ｖ５＝｛0,1,4,5,9,10,13,14,16,17,20,21,25,26,29,30,34,35,38,39,41,42,45,46,50,51,54,55｝
Ｖ６＝｛0,1,4,5,9,10,13,14,16,17,20,21,25,26,29,30,34,35,36,37,38,39,40,41,42,45,46,49,50,51,52,53,54,55,56,57,61,62,65,66,70,71,74,75,77,78,81,82,86,87,90,91｝
Ｖ’０＝｛｝ （空集合）
Ｖ’１＝｛｝
Ｖ’２＝｛2,3｝
Ｖ’３＝｛2,3,6,7,8,11,12｝
Ｖ’４＝｛2,3,6,7,8,11,12,15,18,19,22,23,24,27,28｝
Ｖ’５＝｛2,3,6,7,8,11,12,15,18,19,22,23,24,27,28,31,32,33,36,37,40,43,44,47,48,49,52,53｝
Ｖ’６＝｛2,3,6,7,8,11,12,15,18,19,22,23,24,27,28,31,32,33,43,44,47,48,58,59,60,63,64,67,68,69,72,73,76,79,80,83,84,85,88,89｝
となります。Ｖｎ、Ｖ’ｎについて
１． Ｖｎ⊂Ｖｎ＋１
２． Ｐ∈Ｖｎ ならば Ｓｎ−Ｐ∈Ｖｎ
３． Ｐ∈Ｖ’ｎ ならば Ｓｎ−Ｐ∈Ｖ’ｎ
が成り立ちます。
（証明）
Ｐ∈Ｖｎとすると、ξ（ｉ）∈｛０、１｝によって
と表すことができる。
１．
ξ’（ｉ）＝ξ（ｉ） （１≦ｉ≦ｎ）
＝０ （ｉ＝ｎ＋１）
とすると、ξ’（ｉ）∈｛０、１｝で
２．
ξ’（ｉ）＝１−ξ（ｉ）
とすると、ξ’（ｉ）∈｛０、１｝で
３．
２．の対偶である。（証明終わり）
Ｖｎを、強引に表現するとすれば、
Ｖｎ＝Ｖｎー１∪（Ｖｎー１＋ｎ２）
となります。ただし、加法「＋」が定義できる集合Ａがあり、ｂ∈Ａ、Ｂ⊂Ａにたいして、
Ｂ＋ｂ＝｛ｘ＋ｂ｜ｘ∈Ｂ｝
とおきます。
Ｖ’ｎの元の個数を観察して、驚きました。（プログラムにて検証）
注）＃(A)は、集合Aの元の個数を表します。
＃Ｖ’０＝ 0
＃Ｖ’１＝ 0
＃Ｖ’２＝ 2
＃Ｖ’３＝ 7
＃Ｖ’４＝ 15
＃Ｖ’５＝ 28
＃Ｖ’６＝ 40
＃Ｖ’７＝ 52
＃Ｖ’８＝ 58
＃Ｖ’９＝ 62
＃Ｖ’10＝ 62
＃Ｖ’11＝ 62
＃Ｖ’12＝ 62
ｎ≧９であれば、どうやら＃Ｖ’ｎ＝ 62 となる「らしい」。
さらに、上述の２．３．により
４．Ｖｎ，Ｖ’ｎの分布はＳｎ／２を中心に対称な配置となる。
ついでに、Ｖ’ｎの「前半の３１個」は、ｎ＞９であれば
Ｘ＝｛2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128｝
で固定されている（プログラムで計算）。この３１個は、平方数の和との形に表現できない自然数です。
では、
問題：「平方数の和とはならない数」が、この３１個だけか？
が次の課題となる。上に挙げた３１個は、プログラムではじきだしただけであるので、証明には、程遠い。
これが、解決できれば、議論を逆にたどることで、大元の「長さｎの式」Ｕｎを全て求めることになる。
挑戦は続く・・・・
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