| NO.1585 | 2006.4.24. | 水の流れ | 有名な多項式 |
皆さん、次の連立漸化式からなる多項式（ｘｎ、ｙｎ）について、
ｘｎ＋２＝２・ｘ・ｘｎ＋１―ｘｎ
ｙｎ＋２＝２・ｘ・ｙｎ＋１―ｙｎ
ただし、ｘ０＝１、ｘ１＝ｘ 、ｙ０＝０、ｙ１＝１ 、
ｎは０以上の整数
問１：多項式（ｘ２、ｙ２）、（ｘ３、ｙ３）、
（ｘ４、ｙ４）、（ｘ５、ｙ５）、
（ｘ６、ｙ６）を求めよ。
問２：ｘ＝cosθ としたとき、（ｘｎ、ｙｎ）は何を表しているか、考えてください。
問３：多項式（ｘｎ、ｙｎ）に名前が付いています。調べてください。
注：この記事に関する投稿の掲載は、５月１５日以降とします。
| NO.1584 | 2006.4.22. | 三角定規 | 円周率に関する不等式(6) |
880/280 と √2+√3 の大小の評価はどうやるんですか
| √2+√3 と 880/280＝22/7 の大小 | |
| ⇔ | 5＋2√6 と 484/49 の大小 （両辺を平方した） |
| ⇔ | 2√6 と 484/49−5 ＝ 239/49 の大小 ( 5 を移項した） |
| ⇔ | 24 と (239/49)2＝57121/2401 の大小 （両辺を平方した） |
２４−57121/2401＝（24・2401−57121)/2401＝（57624−57121）/2401＝503/2401＞0
よって，√2+√3 ＞22/7。
円周率に関する不等式（４） の問題点は，
880/280 と √2+√3 の大小の評価
よりも，π＜22/7 を示すことの方が難しい，ようです。
この問題にチャレンジされている皆様，健康にはくれぐれもご留意ください。
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/nissi68.htmlの
NO19：：2006年3月12日（日） に書かれているとおりです。
| NO.1583 | 2006.4.1. | ＢｏｓｓＦ | 円周率に関する不等式(5) |
880/280 と √2+√3 の大小の評価はどうやるんですか？
| NO.1582 | 2006.4.8. | 水の流れ | ｎ個の鍵(1) |
皆さん、ここにｎ個の扉があって、１からｎまでのどれかの鍵で扉を開くことができます。ただし、どの鍵もどれか１つの扉にだけを開くことができるものとする。ここで、太郎さんはそのことを知っているものとする。太郎さんは扉の前に来て鍵をどれか見つけて差し込み、開かなければ次々に別の鍵を試し、開ければ次の扉へと進む。
さて、鍵を１つ差し込んで開けるかどうかを試みるのに１分かかるとすると、太郎さんがすべての扉を開けるまでに鍵を差し込む時間の合計の期待値は何分だろうか。次の問に答えてください。
問題１：ｎ＝１のときの期待値を求めよ。
問題２：ｎ＝２のときの期待値を求めよ。
問題３：ｎ＝３のときの期待値を求めよ。
問題４：ｎ＝４のときの期待値を求めよ。
問題５：ｎ個の扉をすべて開けるまでに試みる時間の期待値を求めよ。
＜出典：大学への数学1996年６月号学力コンテストからの改題＞
注：この記事に関する投稿の掲載は、４月２４日以降とします。
| NO.1581 | 2006.4.1. | 中川 幸一 | 円周率に関する不等式(4) |
エレガントな解答が出来たので紹介します。
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