| NO.1495 | 2004.11.1. | 水の流れ | 高次の因数分解(1) |
高次の因数分解を問題にします。次の式を因数分解しなさい。
問題１：ｘ１５−１
問題２：ｘ１５＋１
問題３：ｘ２１−１
問題４：ｘ３５―１
| NO.1496 | 2004.11.5. | Junko | 高次の因数分解(2) |
問題１：
x15-1の因数分解ですが、(x5)3-13とおけることから、
x15-1=(x5-1)(x10+x5+1)
=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)(x10+x5+1)
と因数分解ができます。一方、x15-1は、(x3)5-15とおくこともできますから、
x15-1=(x3-1){(x3)4+(x3)3+(x3)2+x3+1}
=(x3-1)(x12+x9+x6+x3+1)
=(x-1)(x2+x+1)(x12+x9+x6+x3+1)
両者を見比べると、x2+x+1が、x4+x3+x2+x+1 または、 x10+x5+1 を割り切ることがわかります。実際に計算をしてみると、
x10+x5+1=(x2+x+1)(x8-x7+x5-x4+x3-x+1)
であることがわかります。従って、以下のように因数分解できることになります。
x15-1=(x-1)(x2+x+1)(x4+x3+x2+x+1)
(x8-x7+x5-x4+x3-x+1)
| NO.1497 | 2004.11.8. | UnderBird | 高次の因数分解(3) |
x15-1=(x-1)(x2+x+1)(x4+x3+x2+x+1)
(x8-x7+x5-x4+x3-x+1)
私も同様に考えましたが、
(x4+x3+x2+x+1)や
(x8-x7+x5-x4+x3-x+1)が
もうこれ以上整数の範囲で因数分解できないことは、示していません。
実際コンピュータで求めるとその通りですが、これらの多項式が既約であることの
チェックはどうしたらよいか
悩んでます。
因みに、(x4+x3+x2+x+1)の因数分解の場合、
1次との因数分解の可能性については、因数定理より判断できますが、
2次の場合の因数があるかは一々、(x2+Ax+B)(x2+Cx+D)と置くのも、これ以上高次
の場合には一般性に欠けますよね。
| NO.1498 | 2004.11.8. | Junko | 高次の因数分解(4) |
実は私も同じことを考えていました。
実数の範囲（整数の範囲？）を前提にすると、もうこれ以上因数分解できないということを示さないと
いけませんよね。
複素数の範囲で考えれば、方程式x15-1=0の解は、1の15乗根ですから、複素平面上において、
単位円を１５等分した点で表わされることになります。
z=cosθ+i sinθ (ただし、θ=2kπ/15 k=0,1,2･･･14)
このことから実数解は「1」だけだということもわかります。
従って、１次の因数は(x-1)だけだということになります。それでも例えば、(x4+x3+x2+x+1)が
2次と2次に因数分解できるという可能性を否定できませんね。
ところで、15個ある方程式x15-1=0の解は、kの値によって、
以下のように分類できます。
- そのままで実数
k=0のとき、１通り
- ３乗してはじめて実数
k=5,10のとき、２通り
- ５乗してはじめて実数
k=3,6,9,12のとき、４通り
- １５乗してはじめて実数
k=1,2,4,7,8,11,13,14のとき、８通り
これが、因数分解の次数と一致しています。偶然ではないですよね？
| NO.1499 | 2004.11.23. | 水の流れ | 自然数の和(1) |
＜今回は、2002年の大阪教育大学の入試問題です。＞
自然数ｎをそれより小さい自然数の和として表すことを考える。
ただし、１＋２＋１と１＋１＋２のように和の順序が異なるものは別の表し方とする。
例えば、自然数２は１＋１の１通りの表し方ができ、
自然数３は、２＋１，１＋２，１＋１＋１の３通りの表し方ができる。
問題１：自然数４の表し方は何通りあるか。
問題２：自然数５の表し方は何通りあるか。
問題３：２以上の自然数ｎの表し方は何通りあるか。
| NO.1500 | 2004.11.26. | yokodon | 高次の因数分解(5) |
ちょっと気になる記載（NO.1496 〜 1498）に対する、
大きなお世話です。
代数学の基本定理によれば、全ての実数係数の多項式は複素数の範囲で１次式の積
に因数分解されることが知られており、且つ n 次多項式が m 個の実数根と q 個の
虚数根（→、ここに「虚数」とは、虚数部分が０でない複素数の意味にご理解下さい
）を持つとき、q は偶数で q ＝ 2p と置けて（つまり、p 組の共役複素数が根にな
る）、m + 2p ＝ n となることもすぐ分かります。
この事を使うと、No.1495 の問１は、実数係数の範囲で以下のように因数分解でき
るはずです。
但し、θk ＝ 2kπ/15, k ＝ 1, 2,..., 7
ここに、
zk ＝ cos(θk) + i・sin(θk) , k ＝ 1, 2,..., 15
と置くと、k ＝ 1, 2,..., 7 に対して、
z15-k ＝ (zk)*
（ここに、複素数 z に対して、その共役複素数を z*で表すことにさせて下さい）
であることを用いました。このことから、例えば z1 と z15 を解に持つ２次方程
式として、
x2 - cos(θ1)・x + 1 ＝ 0
・・・を考えることが出来ます。他も同様です。
このことは、整数係数の範囲での因数分解の「限度」を考える上で、参考になると
思います（現在は、そこまで考える元気がありませんｗ）。
一般に、「因数分解せよ」という問題は、以上の意味で「どこまで因数分解するこ
とを求められているのか」に関して、ちょっと悩みますよね。f(^^;
| NO.1501 | 2004.11.27. | yokodon | 互いに素な数の列 |
数列 {an}, {bn} を以下で定める。
a1 ＝ 1, a2 ＝ 3, an+2 ＝ 4・an+1 - an
b1 ＝ 1, b2 ＝ 5, bn+2 ＝ 4・bn+1 - bn
（n ＝ 1, 2, 3,...）
（1）
が、n ＝ 1, 2 で成り立つような２次正方行列 
を求めよ。
また、この時 (＊) が任意の自然数 n で成り立つことを示せ。
（2）任意の自然数 n に対して、an と bn は共通な素数の約数を持たないことを
示せ。
E-mail
戻る