Weekend Mathematicsコロキウム室/NO.180

コロキウム室



NO.1459 2004.5.2.水の流れ格子点の数

第137回数学的な応募問題

太郎さんは入試問題集をみています。次のような問題を見つけました。
x、y、zおよびnを0または正の整数とする。

問題1:不等式x+y≦3を満たす組(x、y)の個数を求めよ。

問題2:不等式x+y≦nを満たす組(x、y)の個数を求めよ。

問題3:不等式x+y+z≦nを満たす組(x、y、z)の個数を求めよ。

問題4:不等式x/3+y≦nを満たす組(x、y)の個数を求めよ

<出典:京都産業大学1996年>





NO.1460 2004.5.3.Junko『博士の愛した数式』

小川洋子さんの『博士の愛した数式』(新潮社)を読みました。
記憶が80分しか持たない「博士」と、家政婦の私とその息子とのお話です。 「28は完全数」とか、「220と284は友愛数」とかいう話が随所に出てきます。 全体に広がるとても暖かい雰囲気がいいなあって思います。是非おすすめです。



NO.1461 2004.5.23.水の流れ相加・相乗平均

第138回数学的な応募問題






NO.1462 2004.5.23.H.Nakao楕円曲線に関する問題

楕 円曲線の話題のページの掲示板より

X3-2Y3-3Z3=0の自明でない整数解は?

3次不定方程式

X3-2Y3-3Z3=0 -------- (1)

の自明でない整数解(X,Y,Z)をいくつか求めなさい。

ここで、整数解(X,Y,Z)が自明であるとは、(X,Y,Z)=(0,0,0)であることを言う。
また、2つの自明でない整数解(X,Y,Z),(X',Y',Z')に対して、 ある有理数t(t!=0)が存在して、
(X,Y,Z)=t(X',Y',Z')であるとき、(X,Y,Z)と(X',Y',Z')は同一解と見なすものと する。

[Hint]
(1,-1,1),(-5,-4,1)が(1)の整数解であることは直ぐに確認できるが、他に整数 解はあるでしょうか?



NO.1463 2004.5.23.浜田 明巳楕円曲線に関する問題(2)

X3-2Y3-3Z3=0の自明でない整数解は?

(X,Y,Z)=(1,-1,1),(-5,-4,1)の他に(655,488,253)があります.もしかするとまだあるかも知れませんが,Zの絶対値が500以下の場合は,これだけのようです.

Option Explicit
Const MAX As Long = 1000 '********
Sub Macro1() 'X^3=2*Y^3+3*Z^3
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    '
    Dim x As Long
    Dim y As Long
    Dim z As Long
    Dim x3 As Long
    Dim xx As Long
    For z = 0 To MAX 'z≧0としてよい
      For y = -MAX To MAX
        x3 = 2 * y * y * y + 3 * z * z * z
        xx = Sgn(x3) * Int((Abs(x3)) ^ (1 / 3))
        For x = xx - 1 To xx + 1
          If x * x * x = x3 And GCM(GCM(Abs(x), y), z) <= 1 Then
            Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
            Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = x
            Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = y
            Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = z
            Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
          End If
        Next x
      Next y
    Next z
    Range("A1").Select
End Sub
Private Function GCM(ByVal a As Long, ByVal b As Long) As Long
    If b = 0 Then
      GCM = a
    Else
      GCM = GCM(b, a Mod b)
    End If
End Function








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