コロキウム室

第１２２回数学的な応募問題

太郎さんは、月曜日第７限の「総合的な学習の時間」に１年生を対象にして、「楽しい数学」と称した講座を受け持っています。現在は「フィボナッチ数列」の調べ学習をしています。この中で、次のような課題を生徒に伝えています。皆さんも、考えて、増えた１ｃｍ^２　はどうしてか　考えてください。

参考：｛ａ_ｎ｝：｛１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，・・・｝をフィボナッチ数列という。

問題：

最初　１辺が２１ｃｍの正方形を下の図のように４つの部分に分けました。三角形Ａと三角形Ｂは合同、三角形Ｃと三角形Ｄは合同です。次に、この４つを移動させて、［ｚｕ２］の図形を作りました。 見た目は長方形ですから、面積を考えてみると、横１３ｃｍ、縦（１３＋２１）ｃｍになります。 ４つの部分を移動しただけですから、面積は同じになるはずです。どうして、１ｃｍ^２違うのでしょうか。この違いは、「フィボナッチ数列」にどんな性質があるからでしょうか。

この問題は、古くからある有名なパズルで、２１×２１ｃｍの正方形を４つに切 って並べ替えると、実は中央にほんの少しの平行四辺形の形をした隙間（この面積が １ｃｍ^２）ができるんです。
ここまでは、知っているのですが、これとフィボナッチ数列との関係にはびっく りしました。 図に登場する、８、１３、２１という数字は、全てフィボナッチ数列にある数字 ですが、こうして分割した場合、最初の１が残るということなんでしょうね。 つまり、一見直線に見える長方形の対角線（？）は、実は直線ではなく、間に１ だけ平行四辺形の隙間ができるということなんでしょう。
要するに、フィボナッチ数列の中にある数字同士のわり算を実行した場合、 どの２つの数字をとっても、その比が全て異なるっていうことですね。

「増えた1cm²」の問題について、きちんとした解答はどなたか別の 方にお任せして、私からは与太話を少々…

《 1 》 塾講師のアルバイトをしていた頃、これより2項手前の「8x8 と 5x13」で、実際 にボール紙を切ったものを並べて、中学生と高校生に「手品」として披露したこ とがあります。 正方形に並べるときに、わざと少し雑に並べて隙間を作るのがコツです(^^)。

《 2 》 それで、手品の種明かしをした後で、『並べ替えたときにできる「隙間」の鋭角 部分の角度を求めよ』と出題すると、高校生向けの手頃な練習問題になります。 近似計算なら、三角関数を用いなくても普通の電卓で計算できます。
上述の「8x8 と 5x13」の場合で計算すると約1.24度、本題の「21x21 と 13x34」 では約0.18度になります。

《 3 》 最後に少しまじめな話。
正方形の辺の長さを1、長方形の長辺と短辺の長さをそれぞれ sqrt(5)+1 / 2, sqrt(5)-1 / 2 （黄金比とその逆数）にして、同様の分割・並べ替えを行うと、隙間なくぴったり合わさります。 当然、面積は両方とも1で一致しています。
フィボナッチ数列の隣接3項の場合は、面積の過不足は必ず±1になるので、項を 進めていくと、「隙間」（または「重なり」）の全体に対する面積比は0に収束 します。 上述の黄金比を用いた正方形と長方形の組は、ちょうど、フィボナッチ数列の隣 接3項による正方形と長方形の組の「極限」になっているわけです。

第１２３回数学的な応募問題

太郎さんは、月曜日第７限の「総合的な学習の時間」に１年生を対象にして、「楽しい数学」と称した講座を受け持っています。現在は「フィボナッチ数列」の調べ学習をしています。この中で、次のような性質があるのではないかと生徒に伝えています。 　参考：｛ａ_ｎ｝：｛１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，・・・｝をフィボナッチ数列という。

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