コロキウム室

第１２１回数学的な応募問題

今回は、１の５乗根や１０乗根に関係の深い３角関数の積の問題です。

〜模試体験Ｓ号外〜

n を 2 以上の自然数とする。

1. ある n-1 次多項式 P_n(x) と n 次多項式 Q_n(x) が存在して、全ての実数θに対して、
   
   　　　　sin(2nθ) ＝ n・sin(2θ)・P_n(sin²θ),　cos(2nθ) ＝ Q_n(sin²θ)
   
   ・・・を満たすことを証明せよ。
   
   
2. α_k ＝1/ sin²(kπ/2n) , k ＝ 1, 2,..., n-1 ・・・とおくと、次式が成り立つことを示せ。
   
   　　　　P_n(x) ＝ (1- α₁・x)(1- α₂・x)×...×(1- α_n-1・x)
   
   
3. 2.の α_k に関して、次式が成り立つことを証明せよ。
   
   

   　　　　
   

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