コロキウム室

僕が知っている数学的帰納法による説明を紹介します。
まず、Ｋ＝２のときは省略します。

次に、Ｋ＝２^kの場合です。 これは、原理的な説明で理解してもらえると思います。
例えば、ｋ＝３のときは、（Ｋ＝８）

つまり、２つの場合をｋ重に使えばできます。
これでいくらでも大きな数（２^k の形）で成立することがいえました。

次に、Ｋで成立するとします。つまり、

ここで、とおきます。

（K-1）個の相加平均とおくのです。そこで左辺を整理すると、

これと右辺とを比較して

両辺をK乗すると

a_K を約すと

そこで両辺の（K-1）乗根をとると

a_K は（K-1）個の相加平均とおいているので１つ小さい値で成立します。これ を繰り返して２^kｰ1と２^k の間を埋めることができるので説明ができたこと になります。

有理数で疑問に思うことなんですが、よければ返答くださいませ！！

疑問点
小数で表示したとき、周期が５となる有理数と一般に周期がｎ（∞） となる有理数は存在するのでしょうか？？

周期が５の無限小数については、適当に５桁の数（ただし５桁とも同じ数字はだめ） を９９９９９で割ればできると思います。
仮に、０＜ａ＜１で、周期５の循環小数「ａ＝０．ＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥ・・・・」を考えます。
桁数を５桁ずらすために１０００００倍したものから、元の数ａを引きます。

１０００００×	ａ＝	ＡＢＣＤＥ．	ＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥ・・・
	ａ＝	０．	ＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥ・・・
９９９９９×	ａ＝	ＡＢＣＤＥ

ａ＝ＡＢＣＤＥ／９９９９９
可能ならば約分をしてください。

同様に、周期ｎの無限小数も作ることができます。 ｎ桁の数（これ自身が周期的なものはだめです。）を９９９・・・９９９（ｎ個）で 割ればＯＫです。可能ならば約分をしてください。

周期が∞の無限小数というのは、周期が存在しないということですから、無理数とい うことになるのではないかと思います。

[補題]
半径1の円に内接する正n角形の1辺が a ならば、
半径1の円に内接する正2n角形の1辺は

　　　(1+a/2)^1/2-(1-a/2)^1/2

[証明]
半径1の円O に内接する正n角形Nの各頂点に Oから半径を下ろすとNはn個の二等辺三角形に分割され そのひとつを、△OABとし、 OからABに下ろした垂線の足をH 更に、OHと、円Oの交点をMとすると 三平方より

　　　OM={1-a²/4}^1/2

したがって、

HM2	=[1-{1-a2/4}1/2]2
	=2-a2/4+2{1-a2/4}1/2

AM	=(AH2+HM2)1/2
	=[a2/4+2-a2/4+2{1-a2/4}1/2]1/2
	=｛2-2(1-a2/4)1/2}1/2
	=(1+a/2)1/2-(1-a/2)1/2 　■

[問い1]〜[問い4]
半径1の円に内接する正6角形の1辺は1だから
補題より
正12角形の一辺は(6^1/2-2^1/2）/2

以下同様なので略

[問い5]
補題の証明に用いた△OABで考える
∠AOB=2π/n だから
∠AOH=π/n
∴AB=2AH=2sin(π/n)　…答

[問い6]
問い5より、半径1の円に内接する正n角形の周L は
L=2nsin(π/n)=2π x {sin(π/n)}/(π/n)
ここで n→∞ の時 π/n→0 だから、{sin(π/n)}/(π/n)→1
よって L→2π　…答

一部修正　5/19　10:00

前回、後回しにした“log(x) の凸性”を用いる証明をご紹介します。
３段階に分けますね。

（1）凸関数に関する定理
区間 [a, b] 上で以下の不等式を満たす連続関数 f を凸関数といいます （流儀によって符号が違う場合もありますが、ここでは xy 平面上で上に凸なグラフを描く場 合を考えます）。

　　　f(a(1-t)+bt) ≧ (1-t)・f(a) + t・f(b)　・・・[1]

但し 0 ≦ t ≦ 1 であり、等号は t ＝ 0, 1 の時のみ成り立つ。

ここで、関数 f が [a, b] 上で２回微分可能で、且つ同区間上にて f'' ＜ 0 の とき [1] が成り立つことを示すことが出来ます。その証明は、

　　　F(t) ＝（[1] の左辺）-（[1] の右辺）

とおいて、

• F' が [0, 1] 上で単調減少である。
• 平均値の定理からある t₀ が存在して t ＝ t₀ で F が極大値をとる。
• F(0) ＝ F(1) ＝ 0 から F は [0, 1] 上で正又は０。

（2）log(x) が凸関数であること
{log(x)}'' ＝ -1/x² ですから、log(x) が（1）の凸関数の条件を満たすことは 明らかです。

（3）不等式の証明
ここで、２以上の自然数 n に関して、相加相乗平均不等式が成り立つことを示す 準備が出来ました。

n ＝ 2 の場合は、[1] で f(x) ＝ log(x) として

　　　a = a₁ 、b ＝ a₂ 、t ＝ 1/2

におけば主張は成り立ちます（等号成立は a ＝ b の場合のみ）。

n ＝ m で求める不等式が成り立つとすると、

ここで、[1] において

a ＝ a_m+1 、


にとると、[1] の左辺の f の引数が

になることに注意して、

を得ます（第２の不等式は帰納法の仮定 [2] から）。
これから、n ＝ m+1 でも求め る不等式が成り立つことが言えます（等号成立条件は、やはり a ＝ b から帰納的に 全ての a_k , k ＝1,2,...,m+1 が等しい場合のみ）。
よって、数学的帰納法から、主張は成り立ちます。

第９８回数学的な応募問題

太郎さんは前日、「地球に優しく」という環境をテーマにしたテレビ番組を観ていると、 何人かの人々が一列に手をつないでいる光景をみました。 大勢の人ですから、途中で先に何人かの人が手をつないで、 次に左隣りの人と手をつないでから、右隣りの一列のグループと手をつないでいました。 ここで、ｎ人が一列に手をつなぐ方法が知りたくなりました。人は区別しません。
例えば、１人ですと、当然相手がいませんが、便宜的に１通りとしましょう。 ２人だと、１−２とつなぎますから、これも１通りです。 ３人だと、１−２とつないで３とつなぐ場合と、２−３と先につないだ後、 左から１とつなぐ場合がありますから、計２通りあります。

ここで、問題です。ただし、人と人が手をつなぐ場合は２人として、 同時に３人以上は考えないでください。

問１．ｎ＝４のとき、手をつなぐ順序は何通りか。

問２．ｎ＝５のとき、手をつなぐ順序は何通りか。

問３．一般に、ｎ人のとき、手をつなぐ順序は何通りか。

整数の平方根を電卓でなく手で計算したいのですが、やり方を忘れてし まったので教えていただけないでしょうか。

とても,メールでは,かけない（私の能力では…）ので、 紹介されているページを検索しました。

開平計算のやり方(ＰＤＦ)

開平は高校で習ったんですが,そのとき一緒に、開立も習ったと思うんですが（本で 読んだのかも・・）こちらはすっかり忘れてしまいました。ご存知の方がいらっしゃっ いましたら、お教えださい。

一部解釈の違いで異なる解答が出ています。 混乱を招く不手際をお許しください。今から修正します。
だから、こう解釈したから、この答えになるというものでもかまいません。
作問者の意図は「同時に二人またはグループで手をつなぐ組があった場合は１つと考えてください。 例えば　４人のとき　（１−２）−（３−４）とつなぐ場合は１つと数えてください。」

n人が、手をつなぐ順序を f(n) とする

(i)f(1)=1

(ii)n≧2 の時
最後には、必ず、二つのグループの端同士が手をつなぐから、

�@はカタラン数であることを示す

…�A

�A式は n=1 でも成立
よって一般にｎ人の時 手をつなぐ順序は, 通り　■

「カタラン数」

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