コロキウム室

計算による答が出そろったところなので（いつの話？）， ここでパソコンのプログラムによる解答を投稿します． 今回はＧＲＡＰＥＳを利用して解いてみました．
Ａ(１，√３)，Ｂ(０，０)，Ｃ(２，０)，ＡＰ＝ｐ，ＡＱ＝ｑ，
直線ＡＢ：ｙ＝ｆ(ｘ)，直線ＡＣ：ｙ＝ｇ(ｘ) とすると，
ｆ(ｘ)＝√３ｘ，ｇ(ｘ)＝−√３(ｘ−Ａｘ)＋Ａｙ，
Ｐ(１−ｐ／２，ｆ(Ｐｘ))，Ｑ(１−ｑ／２，ｇ(Ｑｘ))，
またｐ²＋ｑ²−ｐｑ＝ａ²，ｐ＞０，ｑ＞０であるから，
ｑ＝(ｑ＋√(４ａ²−３ｐ²))／２ となる．
　これらのことがらから，次のＧＲＡＰＥＳのスクリプトを作成してみた．

# file://Clickで計算開始
# clraimg
# k:=.01
# for a:=Sqrt(3)+k to 2-k step k
#  t:=0
#  for p:=k to 2-k step k
#   m:=Ax-p*.5
#   q:=(p+Sqrt(4*a*a-3*p*p))*.5
#   n:=Ax+q*.5
#   if n<2 then
#    s:=.5*p*q*sin(Pi/3)
#    if t< s then
#     t:=s
#     u:=m
#     v:=n
#    endif
#    draw
#   endif
#  next
#  c:=u
#  d:=v
#  draw
# next
# ---

（^^；；Yokodonさんのおっしゃる通り…
「また　p or q →0 で　pq→0 はあきらか」は違ってますね、以下訂正
「AP=p , AQ=q とおく、 まず余弦定理より　 a²=p²+q²-2pq・cos60°=p²+q²-pq
∴(p-q)²+pq=a², i.e. pq=a²-(p-q)²…�@
したがって　pq≦a²

ここで、pqの最小値を考える。
まず、p＜qとしても一般性を失わず
�@よりd=q-pが最大の時にpqは最小であることに注意する。
i) a≦√3のとき
pが与えられると一般にqは二通りあるが、その大きい方のqを考える。
あきらかに p →0 が可能で、そのとき d→Max
　　　　　　　　　　　　　よって最小値なし
ii)a＞√3 のとき
qが与えられると一般にpは二通りあるが、その小さい方のqを考える。
あきらかに q →2 が可能で、そのとき d→Max
　　　　　　　　　　　　　よって最小値なし
以上より　pq≦a²
さて △APQ=pq・sin60°x1/2=（√3/4）pqだから
△APQ≦（√3/4）a² (等号はAP=AQの時)…答」

条件から，
　　ｘ²＋ｙ²−ｘｙ＝ａ²………(1)
　　０＜ｘ＜２，０＜ｙ＜２，√３＜ａ＜２………(2)
において
　　ｘｙ＝ｋ
の値の範囲を求めればよいことが分かる．
　ｘ，ｙの対称性から，ｙ≧ｘの範囲で考えればよい．
　(1)において，ｙ＝２とすると，
　　ｘ²＋４−２ｘ＝ａ²
　　∴ｘ²−２ｘ＋４−ａ²＝０
　　∴ｘ＝１±√(ａ²−３)
　　　　　　　　　　（影の声：だからａ＞√３なんだ！）
　つまり直線ｙ＝２と曲線(1)の交点の座標は，
　　(１±√(ａ²−３)，２)
である．
　グラフから
　　１−√(ａ²−３)≦ｘ≦１＋√(ａ²−３)
の範囲では，ｙ≧２となり，ｙは存在しないことが分かる．
　故にｘｙは，
　　２{１−√(ａ²−３)}から２{１＋√(ａ²−３)}まで
の範囲の値をとらない．
　グラフから，
　　０＜ｘｙ＜２{１−√(ａ²−３)}，２{１＋√(ａ²−３)}＜ｘｙ≦ａ²
　△ＡＰＱ＝√３／４・ｘｙであるから，
　　０＜△ＡＰＱ＜√３／２・{１−√(ａ²−３)}，
　　√３／２・{１＋√(ａ²−３)}＜△ＡＰＱ≦√３／４・ａ²

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