コロキウム室

1．まず n=b・2^a なら、2n=b・2^a+1だから、
f(2n)=f(n) i.e. {f(n)/n}/2=f(2n)/(2n)…�@
また、f(2n+1)=2n+1だから、f(2n+1)/(2n+1)=1…�A
であることに注意する。

�@�Aより

よって題意は示された■

2．与えられた漸化式を解くことにより a(j)=2^j-1
ここで、S(1)=1に注意して、
S(2p)=S(p)/2+pを繰り返し用いることにより

S(2n)	=1/2(1/2(…1/2(1/2(1/2S(1)+1)+2)+4)…)+2n-2)+2n-1
	=1/2n +1/2n-1+2/2n-2+22/2+…+2n-2/2+2n-1
	=1/2n +1/2n-1{1+22+24+…22(n-2)}+2n-1
	=1/2n +1/2n-1[{(22)n-1-1}/(22-1)]+2n-1
	=…=2n+1/3+1/(3・2n)

∴S(aj)	=S(2j-1)-f(2j)/2j
	=2j+1/3+1/(3・2j)-1/2j
	=2/3・(2j-2-j)…答

PSその２．問題文にｂが奇数であることを明記したほうがいいですね．
例えば１２＝２ｘ６＝２^２ｘ３でどちらをとるかは、明示されてません。

a_n の一般項に関しては、漸化式から a_n ＝ 2ⁿ - 1 。
また、a_n の漸化式と（1）の結果から、

S(an+1)	＝ S(2an + 1)
	＝ S(2an) + 1
	＝ 1/2・S(an) + an + 1

従って、 S(a_n+1) ＝ 1/2・S(a_n) + 2ⁿ
（∵ a_n の一般項）が成り立つ。
これを、S(a₁) ＝ 1 の下で解いて、以下を得る。
S(a_n) ＝ 2/3・(2ⁿ - 2^-n)

模試シリーズ6

a は √3＜ a ＜ 2 を満たす定数とする。
一辺の長さが２の正三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＡＣ上（但し、端点を除く）にそれ ぞれ点Ｐ、点Ｑがあり、ＰＱ＝ a を満たしながら動くものとする。
三角形ＡＰＱの面積の取りうる値の範囲を、a を用いて表せ。

AP=p , AQ=q とおく、
まず余弦定理より　
a²=p²+q²-2pq・cos60°=p²+q²-pq
∴(p-q)²+pq=a², i.e. pq=a²-(p-q)²
したがって　pq≦a²
また　p or q →0 で　pq→0 はあきらか
よって　0＜pq≦a²

さて
△APQ=pq・sin60°x1/2=（√3/4）pqだから

△APQ≦（√3/4）a² (等号はAP=AQの時)…答

第８５回数学的な応募問題

今、太郎さんは学校で微分法・積分法を教えています。 使用している補助教材の中にこんな問題がありました。

「ｘの３次関数　ｆ(ｘ)＝ａｘ^３＋ｂｘ^２＋ｃｘ＋ｄ　（ａ＞０） がｘ＝αで極大値をとり、ｘ＝βで極小値をもつとき、極大値と極小値の差をα、βで表せ。」

問題１．導関数ｆ′(ｘ)＝０が異なる２つの実数解を持ち、 その解がα、βであることを利用して解いてください。

問題２．関数ｆ(ｘ)を微分すると、ｆ′(ｘ)ですが、逆に、

であることを利用しても解けます。

魔方陣データベース を見てみると 奇数の魔法陣はmagicと田森方式と同一のアルゴリズム・・ むっむつかしい〜〜なんたらかんたらですが その解答を見ているうちに有る法則（これをアルゴリズムってか？）を 発見しました。

17	23	4	10	11
24	5	6	12	18
1	7	13	19	25
8	14	20	21	2
15	16	22	3	9

５マスの魔法陣で説明します。
まず１の位置ですが、左端の列の真ん中 ２はその反対側橋の列で１より一段したの所 ここまでは奇数マス目の魔法陣ならどれも同じです。 次の３からですが、２から斜め左下に端まで順次”３”数字を入れていきます。 （いけない場合、升目が３の時だけは、一番上の列で２の位置より 一つだけ左側へ） 一番下の段まで行ったら、次の数字”４”は一番上の段の”３”より一つだけ左に そこから左斜め下に連続した空マスを順次埋めていきます。 ＊左端まで入るときはそのままで、途中で空マスが切れた場合は（今回は”５”を入 れた段階で ”１”に当たるので）そこから右の位置へ一個だけ移動して”６”を入れます そこから又左斜め下へ順次数字を入れます。 左端まで入ったときは、”１”と”２”の時のように右端で前の数字より一段したの 所に この時に左一番下に行ったときは、次の数字は右側に 次の数字は、またしても一番上の一つ左側へ、これの繰り返しで 奇数の魔法陣は解けます。スラスラと書き込んでいけばかっこいいですよね 女の子モテモテになったりして、もう手遅れか（爆笑）
その上にこれの上下、左右反対の奴も応用すれば、 私が前に送った解答と一部重複するかもしれませんが 同じ升目の奇数魔法陣でも８種類の解答が・・・ 何か説明不足で済みません。自分では納得して居るんですが（笑）
ちなみにこのＨＰにある７の魔法陣を並べておきます

30	38	46	5	13	21	22
39	47	6	14	15	23	31
48	7	8	16	24	32	40
1	9	17	25	33	41	49
10	18	26	34	42	43	2
19	27	35	36	44	3	11
28	29	37	45	4	12	20

問題1
f ’(x)=3ax²+2bx+c…�@ であるから、
解と係数の関係より
α+β=-2b/3a,αβ=c/3a…�A
さて

	f(α)-f(β)
=	a(α3-β3)+b(α2-β2)+c(α-β)
=	a(α-β){α2+αβ+β2+(b/a)(α+β)+(c/a)}
=	a(α-β){α2+αβ+β2+(-3/2)(α+β)2+3αβ}(∵�A)
=	(a/2)(β-α)3 …答

問題２
[解] まず一般に

であることに注意する。 さて

ＡＰ＝ｘ，ＡＱ＝ｙとする．
△ＡＰＱにおいて，余弦定理から，
ＰＱ²＝ＡＰ²＋ＡＱ²−２・ＡＰ・ＡＱ・cos∠ＰＡＱ
∴ａ²＝ｘ²＋ｙ²−ｘｙ………(1)
この方程式で表されるグラフを，原点を中心にしてθ回転させる．
この回転を表す式は，
　　ｘ'＝ｘcosθ−ｙsinθ，ｙ'＝ｘsinθ＋ｙcosθ
であるから，
　　ｘ＝ｘ'cosθ＋ｙ'sinθ，ｙ＝−ｘ'sinθ＋ｙ'cosθ
となる．
(1)に代入すると，
　　ａ²＝(ｘ'cosθ＋ｙ'sinθ)²＋(−ｘ'sinθ＋ｙ'cosθ)²−(ｘ'cosθ＋ｙ'sinθ)(−ｘ'sinθ＋ｙ'cosθ)
　　∴ｘ'²(１＋sin２θ／２)＋ｙ'²(１−sin２θ／２)−ｘ'ｙ'cos２θ＝ａ²
cos２θ＝０とする為には，θ＝π／４とすればよい．
このとき，
　　３ｘ'²／２＋ｙ'²／２＝ａ²
　　∴ｘ'²／(２ａ²／３)＋ｙ'²／(２ａ²)＝１
　(ｘ'，ｙ')を(ｘ，ｙ)にかえると，
　　ｘ²／(２ａ²／３)＋ｙ²／(２ａ²)＝１………(2)
これを表すグラフは図１である．

図１

つまり(1)の表すグラフは，図１のグラフを原点を中心にして−π／４回転したものの， ｘ＞０，ｙ＞０の部分である．つまり図２となる．

図２


ここで，
△ＡＰＱ＝１／２・ＡＰ・ＡＱ・sin∠ＰＡＱ＝√３／４・ｘｙ
つまりｘｙの値の√３／４倍が△ＡＰＱの面積であるので，ｘｙの値の範囲を求めればよい．
ｘｙ＝ｋ（＞０）とすると，これはｘ軸，ｙ軸を漸近線とする直角双曲線である．
図２から，ｘｙ＝ｋが最大となるのは，この双曲線が点(ａ，ａ)を通る（接する）ときであるので， このとき，
　　ｋ＝ａ²
つまり，ｋの値の範囲は，
　　０＜ｋ≦ａ²
であるので，求める答は，
　　０＜△ＡＰＱ≦√３／４・ａ²
である．

コロキウム室　No.1068

10月23日に「浜田」さんから訂正のご指摘を受け取りました。次のようにします。

「ｘの３次関数　ｆ(ｘ)＝ａｘ^３＋ｂｘ^２＋ｃｘ＋ｄ　（ａ＞０） がｘ＝αで極大値をとり、ｘ＝βで極小値をもつとき、 極大値と極小値の差を，ａ、α、βで表せ。」

問題１．導関数ｆ′(ｘ)＝０が異なる２つの実数解を持ち、 その解がα、βであることを利用して解いてください。

問題２．関数ｆ(ｘ)を微分すると、ｆ′(ｘ)ですが、逆に、

であることを利用しても解けます。

No.1067 の解答ですが、 余弦定理から p , q の条件式を出すところまでは良いのですが、問題はその後です。
ここでは簡単のため、点Ｐ、Ｑが辺の両端も含めて動くものとしましょう（題意と は違いますが）。
このもとで、p, q は共に 0 ≦ p,q ≦ 2 の範囲を動きますが、0 と 2 のあいだ の全ての実数をとれるかどうかは自明ではありません。 実際、本問の場合、√3 ＜ a＜ 2 の仮定があるので、 p , q は 0 ≦ p,q ≦ 2 の範囲を連続に動けません。
このことを、図で考えてみましょう。

考え得る状況は、以下の３つです。
（i） 0 ≦ p,q ≦ 1
（ii） 0 ≦ p ≦ 1 ＜ q ≦ 2 、又は 0 ≦ q ≦ 1 ＜ p ≦ 2
（iii） 1 ＜ p,q ≦ 2

（i）の場合は、a の条件から不可能です。

（ii）の二つの場合は、辺ＢＣの中線に関して対称移動すれば本質的に同じ状況を 表すので、前者で考えます。
三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとします。このとき、点Ｐ は線分ＡＭ上、点Ｑは線分ＮＣ上にあります。点Ｐが点Ａと一致するとき、ＣＱ＝2 - a ですね。ここで、点Ｐを点Ｂの方向に動かしてみると、点Ａが点Ｍに至らないう ちに、点Ｑは点Ｃに到着してしまい、そこで線分ＰＱはつっかえてしまいます。

（iii）の場合は、…コレが最も思いつきやすいと思われますが…、当初点Ｐが点 Ｂに一致していたとき、点Ｑは線分ＣＱ上にありますね。そこから点Ｐを点Ａの方向 に動かすと、あるところで線分ＰＱは辺ＢＣに平行になります。そこから更に動かす と、あるところまで点Ｐが来たときに、点Ｑは点Ｃに一致してしまい、そこでつっか えてしまいます。
例えば、a ＝ 11/6 等として、実際に実験なさってみると、状況が分かりやすいと 思います。

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