コロキウム室

第７９回数学的な応募問題

太郎さんは、先日、卒業生が今大学で、こんな問題がだされています。 分からないので解いてくださいと　他の先生に頼んでいたのを聞きましたので、 今回の応募問題にしました。

曲線Ｃ：√ｘ＋√ｙ＝１について、

問題（１）曲線Ｃ、ｘ軸およびｙ軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。

問題（２）曲線Ｃ、ｘ軸およびｙ軸によって囲まれる部分をｘ軸のまわりに １回転させてできる回転体の体積を求めよ。

問題（３）曲線Ｃの長さを求めよ。＜答　１＋（√2/2）ｌｏｇ（√２＋１）＞　

＜水の流れ：コメント＞実はこの解法がくせ者でして、すらっとでてきません。 もし、聡明な皆さんで、解法を教えてくださればありがたいです。

問題（４）曲線Ｃ、ｘ軸およびｙ軸によって囲まれる部分をｘ軸のまわりに １回転させてできる回転体の表面積を求めよ。

（その後思考を巡らして気付いたものですが） 最後の行の“＝1/10”をどう導くか？ですが、過日お送りした分では計算機の 力を借りましたが、例えば以下のように導けるみたいです。

方程式 z⁷+1=0 の解の一つが、以下であることを利用します。

z ＝ cos(π/7)＋i sin(π/7)

方程式の左辺を因数分解し、この解を代入して（z+1）を落とし、実数部分をとる と以下になります。

これに、cos(kπ/7)＝-cos(π-kπ/7)　k ＝ 1〜6 …を利用して整理すると、最終 的に以下を得ます。

　cos(3π/7)-cos(2π/7)+cos(π/7) = 1/2

　結局、円分方程式の応用として、この関連でいろいろ議論できそうな感じですね（ でも、高校の期末試験の問題としては、オリジナルのままでは、些か難しすぎそうで す；大学入試としても、標準〜ちょっと難しめ？かも知れません）。

　余り意味のない一般化かも知れませんが、「水の流れ」さん御提起の問題は、以下 のように一般化することが出来そうです。

『正(2n+1)角形の一辺に平行な対角線 n-1 本（n≧3）について、その全ての線分長 の逆数の総和をとると、その値は件の正多角形の一辺の長さの逆数に等しい。』

　きちんと確かめたわけではなくて、現段階では単なる予想ですが、ちょっと面白い と思いました。（予想される）証明過程は、もし証明可能なら今回の n ＝ 3 の場合 と本質的に同じ計算になりそうです。

模試シリーズ1

xy 平面上の座標成分の値が整数であるような点を、格子点という。
（1）曲線Ｃ1：y ＝ (√2)・x(x-1) 上の格子点を、全て求めよ。
（2）a、b、c を実数とする。
　曲線Ｃ：y ＝ ax²+bx+c 上に３個の相異なる格子点が存在するなら、この曲線Ｃ 上には無限個の格子点が存在することを証明せよ。

この問題から、放物線上の格子点の個数は、０，１，２，無限のいずれかであるこ とが議論できます。
　曲線上の格子点の問題は、つい先だって最終的な解決を見た『フェルマーの最終定 理』の証明での一つのキーポイントだったはずで、そこまで今回の問題から持ってい くのはかなり長い道のりですが、そういうスレッドを作ってみるのも面白いのでは無 かろうか？…と、ちょっと思いました。

No. 990 の問３の解答

問１と問２は比較的易しいと思われるので、問３だけきちんとした略解？を与えた いと思います。問１の答の面積の値をＳ、問２の体積の値をＶとすると、以下のよう になりまして、比較的単純な積分計算で可能なはずです。

問４については、求める表面積をＴとすると、以下のようになります。公式の導出 には、大学教養レベルの微分積分学の知識が必要ですが（導出を開陳して宜しければ 、後日お送りします；或いは、どなたかがお書きになるかも知れませんね）、一応公 式を提示したいと思います。

では、問３です。あんまり洗練された解法ではないかも知れませんが、素直な解法 を示したいと思います。求める長さをＬとします。

　　　(訂正7/30)

(1) に (2) を代入し (3) を用いて整理すると、以下のようになります。

更に整理して、三角関数の加法定理を用いて変形し、
q＝p+π/4　・・・(5)　　　(訂正7/30)
の様に変数変換をすると、以下のようになります。

あとは、被積分関数の分母と分子に sin(q) をかけて、
sin²q＝1-cos²q
の関係を用いて有理関数の積分に持ち込むことができます。
結局、以下の積分を実行することに帰着されます。

曲線を以下のようにパラメータ表示しても出来そうです （が、ドツボにはまりそうです）。

x＝cos⁴(u)、y＝sin⁴(u)　0≦u≦π/2

この場合は、例えば、以下のようになります。

ところで、 (dx/du)²+(dy/du)²＝2sin²2u・(1+cos²2u) となるので、tan r＝cos 2u 等と変数変換すれば、積分を実行することが出来るは ずです。
ただ、最終的には [6] の積分を計算することに帰着するものと思われます。

問題（３）曲線Ｃの長さを求めよ。＜答　１＋（√2/2）ｌｏｇ（√２＋１）＞　

ベタな方法なのですが、とにかくやってみました。

を使用します。

［手順１：ルートは嫌だ］
x^1/2＋y^1/2＝1とルートが二個も出てきてややこしいので、とにかくルートを消去します。
y^1/2＝−x^1/2＋1
y＝(−x^1/2＋1)²
　＝x−2x^1/2＋1
2x^1/2＝x−y＋1
4x＝x²＋y²＋1−2xy−2y＋2x
x²−2xy＋y²−2x−2y＝-1
(x−y)²−2(x＋y)＝-1 (1)

［手順２：式の形に合いそうな座標系を選んでみる］
二次形式論を使うのがすじのような気もしますが、単純に考えて、x−y＝α，x＋y＝βとおくのが良さそうです。α-β系で式(1)は、 α²−2β＝-1
　 β＝1/2･(α²＋1) (2)

［手順３：線素を計算する］
x−y＝α，x＋y＝βより、x＝(α＋β)/2，y＝(−α＋β)/2なので、
dx＝( dα＋dβ)/2
dy＝(−dα＋dβ)/2
となり、

dx2＋dy2	＝(dα2＋2･dαdβ＋dβ2＋dα2−2･dαdβ＋dβ2)/4
	＝(dα2＋dβ2)/2

(dx²＋dy²)^1/2 ＝(dα²＋dβ²)^1/2/2^1/2

(2)より、dβ＝1/2･2･α･dα＝α･dαなので、

(dx2＋dy2)1/2	＝(dα2＋α2･dα2)1/2/21/2
	＝|dα|･(1＋α2)1/2/21/2

です。よって曲線Ｃの長さは、

となります。

［手順４：α-β系での積分範囲，式(3)のa〜bを定める］

図より、α＝−1〜1とすれば、dα＞0で、|dα|＝dα

［手順５：計算！］
式(3)より、

貴ページで４４４４の問題をおみかけして、 以前につくったプログラムを走らせてみました。
．４という表現はいんちきかもしれませんが、 参考までにお知らせします。

　６７＝√４＋（√４＋４！）÷．４

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