コロキウム室

第７８回数学的な応募問題

太郎さんは、校内の実力テスト問題を考えている中で、こんな問題を作りました。 　一辺の長さが１０ｃｍの正七角形ＡＢＣＤＥＦＧがあります。図の中にある２つの対角線ＤＦとＣＧの長さをｘｃｍ、ｙｃｍとするとき、 １／ｘ＋１／ｙの値を求めてください。

1. 『ここに一枚、正方形の紙があります。　 この正方形の面積を1として、その７分の１（７−１）の大きさとなる正方形を作って下さい。』
   
   

2. 『ここに一枚、正方形の紙があります。　 この正方形の面積を1として、その30％の大きさとなる正方形を作って下さい。』
   
   

3. 『ここに一枚、正方形の紙があります。　 この正方形の面積を１として，その７分の３（７−３）の大きさとなる正方形を作って下さい。』
   
   

4. 『ここに一枚、正方形の紙があります。　 この正方形の紙を使って、三つの辺の比が　５：１２：１３となる三角形を作ってください。』
   
   

5. 長さａ,　bの長方形紙があります。　 各辺aの中点, bの中点を結ぶ直線を折り線とし て、この長方形紙を折ったとき、折られた方の紙の頂点の位置を求めよ。
   
   

6. 『ここに一枚　正方形の紙があります。　 この正方形の紙を使って三つの辺の比が９７：６５：７２となる三角形を作ってください。』
   
   

２直線

ｇ：(x-1)/2=-z-2,y=-1

ｈ：(x+1)/3=1-y=1-z

があります。

1. ｇ,ｈの両方に垂直で両方に交わる直線を求めて下さい(訂正、7/11)
2. ｇとｈの距離を求めて下さい
3. ｇ上の点ｐとｈ上の点ｑを通る線分の中点ｍの軌跡を求めて下さい

Ａ,Ｔ,Ｇ,Ｃの四つの塩基があり、全部で５２４３個あります。
そのうちＧとＣはそれぞれ２０％、ＡとＴはそれぞれ３０％あります。
Ａ,Ｔ,Ｇ,Ｃは環状に並んでいます。
酵素Ａは（ＡＧ↓ＣＴ）
酵素Ｂは（ＴＴＴ↓ＡＡＡ）
酵素Ｃは（Ｇ↓ＧＡＴＣＣ）
酵素Ｄは（ＧＣ↓ＧＧＣＣＧＣ）
という配列の↓の部分を切断します。
各酵素Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄは何ヶ所切断すると考えられますか

外接円の半径を r とすると、
　10＝2r×sin(π/7)　・・・[1]
　長さが x、y である線分の両端である頂点をそれぞれＡ、Ｂ及びＣ、Ｄとし、外接 円の中心をＯとし、三角形ＯＡＢ及び三角形ＯＣＤについて正弦定理を適用すると、
　sin(π/14)/r＝ sin(6π/7)/y　・・・[2]
　sin(3π/14)/r＝sin(4π/7)/x　・・・[3]
　これらを用いて、1/x＋1/y を計算します。

1/x＋1/y	＝(1/r){sin(π/14)/sin(6π/7)+sin(3π/14)/sin(4π/7)}
	＝(sin(π/7)/5){sin(π/14)/sin(π/7)+sin(3π/14)/sin(3π/7)}
	＝(1/5)×{sin(π/14)+sin(π/7)/(2cos(3π/14))}
	＝(1/5)×{sin(π/14)+sin(6π/7)/(2cos(3π/14))}
	＝(1/5)×{sin(π/14)+2sin(3π/14)cos(3π/7)}
	＝(1/5)×{sin(π/14)+sin(9π/14)-sin(3π/14))}
	＝(1/5)×{cos(3π/7)+cos(π/7)-cos(2π/7)}
	＝1/10

２１世紀の新しい科学・技術の基盤を担う夢とロマンを秘めた若者の才能を発掘し、 育成していくために1990年度から、日本数学コンクールを、 1997年度から日本ジュニア数学コンクールを開催しています。

１．自由にゆったりと考える
解答時間は約5時間、途中で昼食や飲み物などは自由に取ることができます。 また、参考書やノート、電卓などの持ち込みも自由です。

２．新しい数学の発見
学校における教育課程、教科書にとらわれず、数学的な本質に根ざした、 考えて楽し問題を提供します。

３．多彩な才能の発見
優秀な才能を持った生徒、ユニークな発想を持った生徒など、様々な参加者の才能 を多面的に評価するために、たくさん解いた生徒だけでなく、 １題に集中して素晴らしい発想を出した生徒にも賞を与えます。
　

４．人材の育成
コンクール参加者の数学的能力をさらに高めるため、コンクールの表彰式の後、講評会を行います。

一人でも多くの、数学に興味のある高校生の皆さんの参加を期待します。日本数学コンクール委員会

「第1２回日本数学コンクール募集要項」

１．開催日時：　　平成１３年８月１８日（土）１０時受け付け　解答時間は１０時３０分から１６時まで

２．会　場　：名古屋大学情報文化学部（詳細は参加証にて提示）

３．参加資格：高校生、高校生相当年齢の者

４．応募方法：下の要領に従って往復葉書で平成１２年７月１９日（木）＜必着＞までに申し込むこと

５．参加料　：２０００円　当日会場にて集めます。

６．その他　：

（１）昼食は各自で持参すること。昼食時間は、各自が自由に設定し、 その時も解答にあたってよい。ただし、会場から外へでることはできない。
（２）参考書、ノート、電卓等の持ちこみは自由とする。ただし、問題に関する私語は禁止する
（３）往復葉書は次の�@〜�Hをもれなく記入すること。往信、返信の位置を間違えないこと。 また、申し込みは、１通につき一人のみとする。
�@　郵便番号、住所　�A　電話番号　�B　学校名（フリガナ）　�C　学年　 �D　学校所在地（都道府県及び市町村まで）�E　氏名（フリガナ）　�F　性別　　 �G　生年月日　�H　保護者氏名（保護者直筆　、捺印）
（４）コンクールに関する問い合わせは、名古屋大学総務課内、日本数学コンクール係
　　　電話　０５２−７８９−２０１１
　　　時間　９：００〜１２：００と１３：００〜１７：００（土、日は除く）

２１世紀の展望を開く若者の才能を発掘し、育成していくために、 1990年度から日本数学コンクールを、1997年度からは併せて日本ジュニア数学コンクールを 開催しています。
　このたび、2000年から新たな日本数学コンクール論文賞が創設されました。

１．自由にゆったり考える
論文はテーマの発表から締め切りまで約３ケ月、ゆったりと自由に考え、 さらに、図書館やインターネットなどを利用して調べ、特徴ある論文を期待します。

２．新しい数学の発見
学校教育、教科書にとらわれず、数学的の本質に根ざした、考えて楽しいテーマを提供します。

３．多彩な才能の評価
綿密な論証力、正確な計算力だけでなく、独自性のあるすばらしい発想や 問題提起も高く評価します。

４．人材の育成
入選論文のうち特に優秀なものは、数学コンクールフォローアップセミナーである数里ウェーブ で紹介されます。　

一人でも多くの、数学に興味のある高校生の皆さんの参加を期待します。 　　日本数学コンクール委員会

「第２回日本数学コンクール論文賞募集要項」

１．応募資格：
�@日本数学コンクール論文賞　高校生以上（一般の方も可）。 共著論文も歓迎します。
�A日本ジュニア数学コンクール論文賞　中学生以下。共著論文も歓迎します。 ただし、共著論文の場合も中学生以下であることを要します

２．論文テーマ：　次の論文テーマから、ひとつを選んで、論文に纏めて下さい。
�@【パッチワーク】野球のボールをよくみると、同じ形の二枚の皮が丹念にぬいあわされていることがわかります 皮に加わる張力がなるべく均等になるように、皮の形が入り組んだ曲線になっているようです。こんな工夫はどこから生まれたのでしょうか。また、この皮の形がボールをおおうのに適していることを、どのように説明できるか。 　この問題に答えるような説を立ててみてください。そして同様の考えを適用して、 ドーナツ型の曲面を二枚のゴムの薄膜をぬいあわせておおううまい方法を提案してみてください。

�A【３次元の黄金と白銀】長方形が、そこから短い方の辺を一辺とする正方形を切り落としてできる長方形と同じ形（相似）になるとき、その長い辺と短い辺の長さの比を黄金比といいます。黄金比はバランスのとれた美しい形に良く表される数として有名です。たとえば、正五角形の対角線と一辺の長さの比は黄金比になっています。 　また、長方形が半分に折りたたんだ長方形と相似になるとき、長い辺と短い辺の長さの比を白銀比といいます。日本で使われているノートはこの形をしていて、白銀比は実用的であるといえそうですね。 　彫刻家のＡ氏は展示会に出すために、３次元の黄金比と白銀比というイメージで構想を練っていますが、あなたが二つの直方体を黄金比と白銀比のイメージにあうようにしようとしたら、それぞれの直方体の辺の長さの比をどのようにしますか。 　また、ほかの立体ではどうでしょうか。　

３．応募方法　：論文はＡ４版横書き原稿用紙（２０×２０）を用いること。 数式は文章と分け、行を改めて書くこと。必要に応じて図を入れても構わない。 長さの制限はとくにない。
◎　論文送付先　郵便番号４６４−８６０１　名古屋市千種区不老町
　　　　　　　　名古屋大学総務課内、日本数学コンクール担当
　　　　　　　　☆　封筒に「論文賞」と朱書きのこと

４．締め切り：平成１３年８月１８日（土）必着
なお、当日は日本数学コンクール、日本ジュニア数学コンクールが名古屋大学で開催されますので、 論文を会場で提出してもかまいません。

５．審査方法：日本数学コンクール論文賞、日本ジュニア数学コンクール論文賞ともに、 応募論文それぞれに、２名の査読者が査読結果をレポートにまとめ、 審査員の合議により入選論文を決定します。

◎　審査会　伊藤　正之（名古屋大学教授、日本数学コンクール委員会会長）
　　　　　　　大沢　健夫（名古屋大学教授、日本数学コンクール委員会問題委員会委員長）
　　　　　　その他日本数学コンクール委員会問題委員会委員若干名

６．表彰式：表彰は数学コンクール表彰式当日に行い、最優秀論文に対しては日本 数学コンクール論文賞、日本数学ジュニア数学コンクール論文賞とも数学コンクール大賞 と同等の記念品および賞品を贈呈します。
優秀論文に対する表彰も数学コンクールに準じます。
また、最優秀論文の結果については、中日新聞に紹介します。

７．論文に関する問い合わせは、名古屋大学総務課内、日本数学コンクール担当
　　　　　　　電話　０５２−７８９−２０１１
　　　　　　　時間　９：００〜１２：００と１３：００〜１７：００（土、日は除く）

＊表彰式は11月３日（土）祝日に名古屋大学シンポジオンで行います。

紹介文のＷｅｂ上での掲載の許諾は得てあります。大垣南高校　数学科　水野

微分 その２（折れ線近似 → ﾃｰﾗｰ級数）

なぜ微分するのか？と思ったことがあります。結論として、ｎ次関数とか超越関数とかを そのまま操れるほど人間は器用じゃないからだ、と思いました。 だから微分による線形化を行って、１次関数と対比してなんとか扱っているのだと。
なぜ１次関数なんだ？と思ったことがあります。１次関数は、 掛け算と足し算で計算できるからじゃないのか、と思いました。 ここで四則演算は（掛け算は）、加法（足し算）から導けます。
なぜ足し算なんだ？と思ったことがあります。人間は基本的に馬鹿だから、 直観的に理解できるのは足し算だけじゃないでしょうか？　人間の能力の一部を モデル化したと思われるｺﾝﾋﾟｭｰﾀｰが、基本的に足し算しかできないのは、そのせいなのだと。 だからこそ微分による線形化なのだと。
ところで［その1］より、関数の1点に1点に1次関数が住んでいると考えても、おかしくは ないのであれば、関数の１点の近傍を顕微鏡で覗けたときには、 下図のような像が見えても良いはずです。

もちろん、図-1のようなものが本当に見えるわけはないので、図-1は関数のモデル化�@と呼んで おきます。そういう風に考えてもいいよ〜〜、くらいの意味です。しかしながら 図-1は、関数を、その1点の中に住む直線から構成された折れ線の集まりとみなす、という意味です。 そして直線は掛け算と足し算から計算できます。そうすると、直線の継ぎ足しである任意の関数は、 掛け算と足し算だけで計算できるのではないか？と思えてきます。 それがテーラー級数ではないのか？。この考えには強力な助っ人がいました。 もとの関数に対する、整級数としてのテーラー展開の一意性です。
無限小範囲で成り立つはずのモデル化�@は実際には不可能なので、 それを有限の大きさで大きさで近似してみます。例えば・・・

図-2の区間［α，α＋β］をn等分して、各分割区間で曲線f(x)を折れ線近似します。　 分割区間の幅hは、モデル化�@における曲線上の1点を表す円の直径に相当します。nh＝βです。 これをモデル化�Aとしておきます。無限小でない大きさを持つモデル化�Aは、 無限小のモデル化�@に対する、有限の大きさでの近似モデルです。

もしモデル化�@と�Aが、本当に対応するのであれば、分割区間幅hのh→0の極限で、 �@と�Aは一致するはずです。もっといえば、h→0の極限で、�Aへ近づくモデル化があるとすれば、 それもh→0の極限で本当のモデル化である�@に収束するはずです。
ここでは図-2のモデル化�Bを使います。モデル化�Bは、各分割区間の下端の傾きを持つ直線で、 モデル化�Aをさらに近似したものです。f^(j)(x)は、関数fのj階微分を表すものとします。
ところがモデル化�Bには、�Bをさらに近似したモデル化�Cをすぐに思いつけます。 面倒すぎてモデル化�Cを図にはしませんでしたが、 微分の意味を線形化操作そのものと捉えることから、直接出てきます。

［モデル化�C］
β＝nhなので、
　　f(α＋β)＝f(α＋nh)です。

　　f(α＋nh)〜f(α＋(n−1)h)＋h･f⁽¹⁾(α＋(n−1)h)

とできます。これはn個の分割区間の最後のn個目の区間において、その下端の関数値と傾きで、 h進んだ上端の関数値を表す式です。n＝1の場合を考えれば、ふつうの微分の形ですし、 モデル化�Bそのままです。同じことを(n−1)個目の区間でもできるはずです。

下線のところがその部分です。下側の右辺全体をみれば、モデル化�Bを式で表したものにすぎない ことがわかります。ところで波線部にも同じことができるはずです。ここで、微分の形、

f(α＋h)〜f(α)＋h･f⁽¹⁾(α)

を恒等式と考えます。要するに関数fに制限はないのだから、

f^(j)(α＋h)〜f(α)＋h･f^(j+1)(α)

だって成り立って良いはずですし、hにも特に制限はありません。だとすると、

f⁽¹⁾(α＋(n−1)h)〜f⁽¹⁾(α＋(n−2)h)＋h･f⁽²⁾(α＋(n−2)h)

なので、

となります。分割区間を次々にm回遡って、(n−m)hが0になるまで、これを繰り返します。 見当をつけるために、分割数がn＝1,2,3のときに実行すると、

f(α＋ h)〜f(α)＋ h･f⁽¹⁾(α)
f(α＋2h)〜f(α)＋2h･f⁽¹⁾(α)＋h²･f⁽²⁾(α)
f(α＋3h)〜f(α)＋3h･f⁽¹⁾(α)＋3h²･f⁽²⁾(α)＋h³･f⁽³⁾(α)
となり、

が予想でき、実際に帰納法で証明することができます。 式(1)は、後退差分の公式として知られています。
h→0の極限では、モデル�C→�B→�A→�@と収束するはずです。なぜならこれらは、 意味としてはみな同じで、関数の同一点の内部を近似度を変えて表しているだけです。
そうするとモデル�Cから出てきた式(1)のh→0での極限は、掛け算と足し算だけを用いた任意 の関数の表現法ということになります。実行すると、

となります。卑怯にもここで、計算の方針決めを行います。 つまり「これは、テーラー級数の説明であって、証明ではない！」。 よってlimとΣの極限順序交換などは易々と行ってしまい、何が出てくるのかを、 とにかく見てみます。nh＝βなのでh＝β/nでおきかえ、式(2)の中の一項を取り出して、 その極限を先にとります。n→∞を忘れずにおきながら、

と変形します。jはあくまで有限であることに注意して、n→∞を思い出すと、
1に近づく()が有限のj個なので結果は1

が得られます。極限順序を交換された式(2)に戻ってこれらの合計をとれば、

となり、テーラー級数となります。そういうわけでテーラー級数は、 折れ線近似の極限のストレートな表現ということになります。 それが乗法と加法だけで成立するのは、それこそが折れ線近似だからで、 関数の1点には直線が住んでいるんだ、ということの言い換えにすぎないと思います。 そして任意の関数の計算法を加法だけで理解できるのは、とても重要なことだとも思えます。
加法から導ける四則演算しか人間は理解できないのでは？という意味です。 たとえどんなに難しい計算をやっていたとしても、その計算過程で最後にたどり着くのは、 「足し算九九」表と「掛け算九九」表だと思えるからです。
次は、１行で済むテーラーの定理の証明をやってみようと思います。

２直線を媒介変数表示します。
直線ｇ：(x-1)/2=-z-2 =S,y=-1　より、 x=2s+1,y=-1,z=-s-2
直線ｈ：(x+1)/3=1-y=1-z　=t より、 x=3t-1,y=1-t,z=1-t

つまり、直線ｇ上の点Ｐは、媒介変数sを使って、Ｐ(2s+1,-1,-s-2)と表せるわけです。
同様に直線ｈ上の点Ｑは、媒介変数tを使って、Ｑ(3t-1,1-t,1-t)と表せます。

直線ｇ上の点Ｐと直線ｈ上の点Ｑとの距離の２乗は以下のようになります。

ＰＱ２	={(3t-1)-(2s+1)}２+{(1-t)-(-1)}２+{(1-t)-(-s-2)}２
	=11t２+5s２-14ts+14s-22t+17
	=5{s+7/5･(1-t)}２+6/5･(t-1)２+6

変数sで平方完成し、更にtで平方完成しました。
これが最小値をとるのは、s+7/5･(1-t)=0　かつ　t-1=0のとき、 すなわちt=1、s=0のときである。
その時のＰＱの最小値は√６(問題２)
このとき、Ｐ₀(1,-1,-2)、Ｑ₀(2,0,0)

この点Ｐ₀、点Ｑ₀を通る直線が、両者に垂直に交わる直線ということになる。
従って求める直線は、x-2=y=z/2(問題１)

直線ｇ上の点Ｐ(2s+1,-1,-s-2)と直線ｈ上の点Ｑ(3t-1,1-t,1-t)の中点をＲとすると、
Ｒ( (2s+3t)/2,-t/2,(-s-t-1)/2 )とかける。

x=(2s+3t)/2	(1)
y=-t/2	(2)
z=(-s-t-1)/2	(3)

これより、媒介変数を消去すると、x+y+2z+1=0
つまりこれは、Ｐ₀Ｑ₀の中点を通り、 ベクトルＰ₀Ｑ₀を法線ベクトルに持つ、平面である。(問題３)

ガウス記号を使って解いている人がいましたが、それを使うと a以上a+1未満(aは整数)の実数がすべてaになるのでちょっとズルイと 思います（問題の方向性が私の考えていたのと少し違う）。
そんな事をしなくても tan(pi/4)（pi = 円周率）を使えば解けます （C(combination)を使うと更に楽に解ける）。
67以外の数はガウス記号も C(combination)も使わずに表せた（下式参照）のですが 67をガウス記号も Cも使わずに表せた人は教えてください。

E-mail 戻る