Weekend Mathematics／コロキウム室／NO.112
コロキウム室
| NO.943
| 2001.4.1. | 小泉 重夫 | 「情報世紀」の主役たち
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対数のログＬｏｇの語源をご存じでしょうか？
「ロゴス」論理＋「アリスム」計算＝「ロガリスムス」対数だそうです。
「情報世紀」の主役たち。という展示会の中に書いてありました。
（
国立科学博物館の展示の元になったネーピアの本のページ（金沢工業大学所蔵））
国立科学博物館
（上野公園、大人８３０円、高校生２５０円。６／３まで）
常設展の巨竜の骨などを見るだけでも価値があると思いますが、
この特別展をちょっとのぞいてみる価値はあると思います。
コンピューターの話だけではなく、パスカルの手回し計算機や、ネーピアの対数表、初めて
のテレビ放送の様子なども展示してあります。
| NO.944
| 2001.4.2. | 水の流れ | ２段に並べる（１）
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第７２回数学的な応募問題
太郎さんは、授業の中で、縦が２個、横が２ｎ個の升目のそれぞれに赤か白のマグネットを並べるときがあります。
縦にも横にも白のマグネットを連続して並べない方法は何通りあるか、知りたくなりました。
ここで、問題です。
問題１：ｎ＝１のとき、このような並び方は何通りあるか。
問題２：ｎ＝２のとき、このような並び方は何通りあるか。
問題３：ｎ＝３のとき、このような並び方は何通りあるか。
問題４：このような２段に並べる場合の数をａｎとするとき、
規則性を発見して、漸化式を作ってください。
問題５：この数列｛ａｎ｝の一般項をｎで表してください。
| NO.945
| 2001.4.3. | Junko | ２段に並べる（２）
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２×２ｎなのか、２×ｎ なのか混乱しましたけれど、ここでは２×ｎとして考えてみます。
問題１：３通り
問題２：７通り
問題３：１７通り
混乱のさなか、２×４も書き出してみましたので載せます。４１通り。
問題４：
ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎとする。
(ただしｂｎは、右端がタテに赤白、または白赤で終わるもの、
ｃｎは、右端がタテに赤赤で終わるもの)
そうしますと、次の漸化式が成り立ちます。
| ｂｎ | ＝ｂｎ−１ | ＋２ｃｎ−１
|
| ｃｎ | ＝ｂｎ−１ | ＋ｃｎ−１
|
なぜなら、右端がタテに赤白または白赤で終わるためには、前段で赤白または白赤だった場合はその逆、
前段で赤赤だった場合は赤白または白赤の２通りが考えられます。
（ｂｎ＝ｂｎ−１＋２ｃｎ−１）
また、右端がタテに赤赤で終わるたまには、前段が何であってもかまわないのです。
（ｃｎ＝ｂｎ−１＋ｃｎ−１）
ここまでのところを確認します。
ｂ１＝２、ｃ１＝１、ａ１＝２＋１＝３
ｂ２＝２＋２・１＝４、ｃ２＝２＋１＝３、ａ２＝４＋３＝７
ｂ３＝４＋２・３＝１０、ｃ３＝４＋３＝７、ａ３＝１０＋７＝１７
ｂ４＝１０＋２・７＝２４、ｃ２＝１０＋７＝１７、ａ４＝２４＋１７＝４１
問題５
漸化式から一般解を求めてみます。
行列を使って求める方法、
代入することで、３項間の漸化式に帰着させる方法、
Ｃｎ＋１−２Ｃｎ−Ｃｎ−１＝０ 等々・・・
ここでは途中を省略させていただきます。結果のみ。
各項は当然自然数なのに、一般項がこれだけ複雑というのも不思議といえば不思議・・・。
もし、２×２ｎで考えるのならば、上記のｎを２ｎで置き直せばいいわけで、そうすると以下のようになります。
第７３回選抜高校野球大会（毎日新聞社、日本高校野球連盟主催）の優勝戦があり、
常総学院（茨城）が仙台育英（宮城）を７対６で破り初優勝を果たした。
１９９４年に準優勝するなど強豪で、５回目のセンバツ出場で、悲願を達成し、
２１世紀初の紫紺の優勝旗は常総学院（木内監督）に渡りました。おめでとうございます。
今回、２１世紀枠があって、沖縄県の宜野座高校と福島県の安積高校の２校増えています。
太郎さんは、前回の４回と同様な調査結果を報告します。
さて、高校野球は先取点の入ったテームが勝つとよく言われます。
2001年センバツを例にして、分析しました。
また、ファンにとって、逆転につぐ逆転の試合は忘れられない感動を与えます。
（１）先取点が入って、同点にされてもそのまま終わった試合を@
（２）先取点が入って、逆転して（同点になっても）終わった試合をA
（３）先取点が入って、逆転されても再逆転して終わった試合をB
以下、この逆転の回数で、C、D、Eと分類していきます。
だから、丸数字が奇数の場合は先取点の入ったチームが勝ち。
丸数字が偶数の場合は先取点の入ったテームの負け。となります。
当然、丸数字の多い方が面白い試合で楽しむことができたことになります。
決勝戦までの３３試合をこのように分析しました。
その結果、@は２１試合、Aは９試合、Bは３試合、あとの回数は起きませんでした。
そこで、丸数字の奇数は ２１＋３＝２４ 、丸数字の偶数は ９ だけです。
これを３３で割ると２４／３３＝０．７２７ で高い確率で勝っています。
これで、ジンクスは確かだ言えます。
また、この丸数字の決まったイニングは１回から３回で１５試合このうち@のチームが
１４チームあります。
４回から６回で９試合、７回から９回で６試合、延長戦の場合が４試合で、
サヨナラ勝ちは３試合でした。
また、このセンバツ大会は、先攻をとって勝った試合が１５試合、
後攻が勝った試合が１８試合ありました。
さて、ここで、いつも同じように、野球の試合を行ったとき
「９回裏（延長）までのあいだに逆転または勝ち越しが何回起こるか」と言う頻度が、
”まれにしか起こらないこと”の１例です。
先制点を挙げたチームがそのまま逃げ切ってしまえば、
１回も逆転、勝ち越しがなかったことになる。
そこで、例として、大会初日の福井商業高校と桜美林との得点経過でみます。
| 得点掲示 | １ | ２ | ３ | ４
| ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | 計 |
|---|
| 福井商業 | １ | １ | ２ | ２
| ０ | ０ | ０ | ０ | ５ | １１ |
|---|
| 桜美林 | １ | １ | ０ | ０
| １ | ４ | １ | １ | ０ | ９ |
|---|
１回の表の１点は先制点だから、勝ち越しとは言わない。１回の裏の１点は同点だからカウントしない。
２回の表の１点は勝ち越しだから、カウントは１とします。
２回の裏の１点は同点だからカウントしない
３回の表の２点は勝ち越しだから、カウントは２とします。
６回の裏の４点は勝ち越しだからカウント３します
９回の表の５点は再逆転ですので、カウント４します
以上、逆転または勝ち越しが回数として４回をカウントします。
この試合が動きの激しい試合であったことを意味しています。
同じようにカウント４の試合は、姫路工業高校と日大三高との試合も５対８で、
逆転・再逆転・再々逆転の好試合でした。
逆転・勝ち越しが起った回数
| 回数 | ２００１年春のセンバツ | ２００１年夏の大会
|
|---|
| ０回 | １４試合 |
|
| １回 | １３試合 |
|
| ２回 | ４試合 |
|
| ３回 | ０試合 |
|
| ４回 | ２試合 |
|
上の表がポアソン分布をしているかをみてみます。
ちょっと、数学の専門的な式になりますが、ポアソン分布の確率密度関数は
です。
ここで、ｘは逆転または勝ち越しの回数を代入、ｍはデータの平均値で、この場合は
ｍ＝（１×１３＋２×４＋３×０＋４×２）／３３＝２９／３３＝０．８７８７…
これは、この年のセンバツでは、逆転または勝ち越しが１試合平均０．８７８７回
起こったことを意味しています。意外に少ないと感じました。調査していると同じような結果になり、
夏の大会より、これでも多い方です。
| 逆転・勝ち越しが起こる確率 | 理論値 | 実際の試合数
|
|---|
| ０回 ０．４１５３×３３ | １３．７０４ | １４
|
| １回 ０．３６４９×３３ | １２．０４３ | １３
|
| ２回 ０．１６０４×３３ | ５．２９２ | ４
|
| ３回 ０．０４７０×３３ | １．５５０ | ０
|
| ４回 ０．０１０３×３３ | ０．３４１ | ２
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以上、５回目の調査報告でした。
| NO.947
| 2001.4.5. | kiyo | ２段に並べる（３）
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2nの場合は以下のようになると思います。
| NO.948
| 2001.4.5. | Junko | ２段に並べる（４）
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わぁー、本当だ、計算間違いしていますね。ご指摘、ありがとうございます。
| NO.949
| 2001.4.15. | 水の流れ | 最大数の確保
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第７３回数学的な応募問題
太郎さんは、ときどき大学入試問題を見ています。
過去の早稲田大学の入試問題を参考にして作問します。
「ｎを２以上の自然数とし、次の操作を考える。
『操作１』：１からｎまでの自然数を１枚ずつ書いたｎ枚の札を無作為に１列に並べる。
『操作２』：１枚目の札を手元に取る。
『操作３』：２枚目以降、ｎ枚目の札まで順に見ていき、
手にしている札よりもそれが大きい数値の札であるならば、そのたびに手の札と入れ換える。
このとき、『操作３』で入れ換えがｋ回起きる並び方の数をＦ（ｎ、ｋ）とする。
ただし、最初に手にした１枚の札は操作の回数としては、０回とします。
また、Ｆ（１、０）＝１とします。」
例えば、５枚の札が２，１，３，５、４と１列に並んだとします。
最初に２を手元に入れます。次の１は２より大きくありませんから、
入れ替えの操作はしない。次の３は手にしている２の札と比べて大きい数ですから、
１回目の入れ換え操作をします。
そして、５の札が並んでいますから、２回目の入れ換え操作をします。
この場合は、ｋ＝２の並び方の１例です。ここから、問題です。
問題１：Ｆ（２、０）、Ｆ（２、１）の値を求めてください。
問題２：Ｆ（３、０）、Ｆ（３、１）、Ｆ（３、２）の値を求めてください。
問題３：Ｆ（４、０）、Ｆ（４、１）、Ｆ（４、２）、Ｆ（４、３）の値を求めてください。
問題４：Ｆ（５、０）、Ｆ（５、１）、Ｆ（５、２）、Ｆ（５、３）、Ｆ（５、４）の値を求めてください。
問題５：規則性を発見して、漸化式を求めてください。
問題６：入れ換えの回数の期待値をＥ（ｎ）としたとき、
Ｅ（ｎ）とＥ（ｎ―１）の間に成り立つ関係式をみつけて、Ｅ（ｎ）をｎで表してください。
| NO.950
| 2001.4.24. | Junko | 最大数の確保（２）
|
例によってまずは数え上げ・・・
問題１：
Ｆ（２、０）＝１ なぜなら、[２，１]
Ｆ（２、１）＝１ なぜなら、[１，２]
問題２：
Ｆ（３、０）＝２ なぜなら、[３，＊，＊]・・・＊は残りの任意の数
Ｆ（３、１）＝３ なぜなら、[１，３，２]、[２，３，１]、[２，１，３]
Ｆ（３、２）＝１ なぜなら、[１，２，３]
問題３：
Ｆ（４、０）＝６ なぜなら、[４，＊，＊，＊]・・・＊は残りの任意の数
Ｆ（４、１）＝１１ なぜなら、[１，４，２，３]、[１，４，３，２]、[２，４，１，３]、[２，４，３，１]
[３，４，１，２]、[３，４，２，１]
[２，１，４，３]、[３，１，４，２]、[３，２，４，１]
[３，１，２，４]、[３，２，１，４]
Ｆ（４、１）＝６ なぜなら、[１，２，４，３]、[１，３，４，２]、[２，３，４，１]
[１，３，２，４]、[２，３，１，４]、[２，１，３，４]
Ｆ（４、１）＝１ なぜなら、[４，２，３，４]
問題４：
Ｆ（５、０）＝２４ なぜなら、[５，＊，＊，＊，＊]・・・＊は残りの任意の数
Ｆ（５、１）＝５０
このあたりで数え上げは挫折・・・。
漸化式を考えた方がよさそうです。
ここまででわかった性質は、
F(n,1)=(n-1)!・・・なぜなら先頭にｎがきて残りは任意の数でいいから
F(n,n-1)=1・・・小さい順に並べておく以外にはないから
F(n,0)+F(n,1)+・・・+F(n,n-1)=n!・・・すべての和は、ｎこの数字の順列だから
| NO.951
| 2001.4.26. | 神戸大学のS.N | 和集合の要素の個数（２）
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n個の和集合の要素の個数を求めることができる一般公式を教えてください。
２個、３個の場合[n(A∨B）＝n（A)+n（B)-n（A∧B）等]から頭の中では推測できるのですが、
式が大変な量になったり、
シグマ記号が複雑に重なり合ったりと上手にまとめることが出来ませんでした。
「この一般公式を推測して、数学的帰納法で証明せよ。」というのが問題なのですが、
ぜひ一般公式だけ教えてください。よろしくお願いします。
| NO.952
| 2001.4.27. | Kernighan | 和集合の要素の個数（２）
|
私は最近知りました。
包除原理
X⊃{Pi} i=1,2,3...,n に対して
ただしI={i1,...,ik}
例えばn=2の場合は
|X-(P1∪P2)|=|X|-(|P1|+|P2|)+|P1∩P2|
n=3の場合は
|X-(P1∪P2∪P3<)|=|X|-(|P1|+|P2|+|P3|)+
(|P1∩P2|+|P2∩P3|+|P3∩P1|)-|P1∩P2∩P3|
これを使ってオイラー関数や、双子素数のブルンの篩を構成できます。
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