コロキウム室

同僚が次の疑問に悩んでいました．紹介します．
高崎経済大学の入試問題です．
次の２つのグラフによって囲まれる部分を示せ．
　　ｘ^２＋ｙ^２＝１………(1)
　　ｙ＝ｘ^２−１／４……(2)

模範解答は下図の通りで，
　　ｘ^２＋ｙ^２≦１
　　ｙ≧ｘ^２−１／４
の２つの不等式で表される領域です．

ここで次の疑問が沸いて来ました．
放物線(2)の下の部分で，円(1)の内部も，やはり囲まれる部分としていいのではないか？　
したがって答は円の内部および周ではないか？

おそらくこれは，「放物線(2)で囲まれる」ということから，常識的（？）に， その放物線の開いている部分，この場合では，上の部分内でのみ考えてしまったので， 起きた事柄なのでしょう．
問題自体に問題があるので，あまり気にしなくてもいいのかも知れません． しかし作問者，採点者，受験生のほとんどが最初の図を， 何も考えず答とする一方，小数の受験生が２番目の図でもいいのではないか，と悩むのは問題です． かわいそうです．
こういう場合，数学の先生として，どう指導していけばいいのでしょうか． 実際の入試では，あまり冒険せず，「変だな」と思っても常識的な考えで行け， と指導しようと思ってはいるのですが．

1.についてです。
解と係数の関係を使って証明すればいいのかとも思いますが、 証明すべき式の両辺の形、まったく同じ形をしているのが気になります。 つまり２つの解が、δだけずれたとしても不変な量だということです。 何かきっと意味があるに違いないと思うわけです。

２次方程式の解の公式を
と変形します。

α＜βとするならば、

であり、放物線の軸　x=-b/2a　をはさんで左右対称です。

従って、は、 放物線の軸とｘ軸との交点と、放物線とｘ軸との交点との距離(下の図の赤い部分)を示しています。

この長さは、グラフ全体を右にδだけずらしても変わらないわけですから、
（証明終わり）

(一部訂正1/12)

プレゼント交換の問題で少し加わった問題がありました。

円卓に８人座っています。この８人でプレゼント交換するのです が、自分のプレゼントはもらうことはできず、しかも右隣の人に渡す事ができないとします。 このとき何通りの交換の仕方があ るでしょう。
また一般的にｎ人の場合についてはどうでしょう。

ボールの問題、結局わかりました。 やはり、３回でわかるのです。

まず、12個のボールを4個ずつ３このグループにわける。
（説明のため、ABCD、EFGH、IJKLの名前を付けておきます。）
最初に、ABCD、EFGHをはかりに乗せる。

• もしつりあわなければ、IJKLはただしいボールということになります。
  次に、AIJK、EBCDではかります。
  （それぞれのグループのうち、1枚を残して、3枚ずつを右回り（左回りでもよい）に スライドさせるのです）
  
  もし傾きが代わらなければ、残したAかEのどちらかがにせものなので、 本物と分かっているIのボールとAをはかり、つりあえばEがにせもの、 つりあわなければAがにせものです。（天秤3回使用）
  
  もし傾きが代わった場合、BCDがにせものだったということいなります。
  かつ、1回目2回目に傾いた向きで、にせものが軽いのか重いのかわかっているので BCをはかり、つりあえばDがにせもの、 つりあわなければ、にせものの重さと同じ傾きになったほうがにせものです。 （天秤3回使用）
  
  もしつりあった場合は、FGHのどれかがにせものということになります。 やはり重いか軽いかは1回目の測定の段階でわかっているので FとGをはかり、つりあえばHがにせもの、 つりあわなければにせものと同じ傾きをしたほうがにせものです。
  
  
• 次に、1回目の段階でABCDとEFGHがつりあった場合
  IJKLのなかのどれかがにせものということになります。
  おなじように、AIJK、EBCDではかります。
  
  傾きが代わらなかった場合は、残したLがにせものです。 （2回使用でわかってしまいますね）
  
  傾きが代わった場合は、移動させて来たIJKのどれかがにせもの、 かつ傾いた向きで重いのか軽いのかもわかるので、 IとJをはかり、つりあえばKがにせもの、 つりあわなければにせもののおもさと同じ傾きになる方がにせものです。 （3回使用）
  
  

今回は正17角形が作図できることについてです。 正17角形だけでなくある規則に沿って正確な作図ができる正ｎ角形が存在するそうです。
「ｎを素因数分解したとき、その奇数の因数がすべてフェルマー素数であり、同じものが2つ以上無い場合に限り定規とコンパスによって作図することができる。」 というのをガウスが証明したそうです。
ということで結局ｎ=100までで、正確な作図可能な正ｎ角形は、24種類ということになるそうです。

第６７回数学的な応募問題

太郎さんは、高いところからひらひらと舞い降りてくる幾つかの１万円札をうまく割り箸 でつかみ取ることができたら、その分をお年玉としてゲットできる番組を観ていました。
そこで、ｎ枚の１万札をｒ人（ただし、ｎとｒは自然数とする）でつかみ取る問題を作りました。
勿論、１人が運良くすべての札をゲットしたり、すべての人が運悪く１枚もゲット できないときもあります。
具体的には

問題１：５枚の１万札を３人でチャレンジしてつかみ取る方法は何通りですか。

問題２：ｎ枚の１万札を３人でチャレンジしてつかみ取る方法は何通りですか。

問題３：５枚の１万札をｒ人でチャレンジしてつかみ取る方法は何通りですか。

問題４：ｎ枚の１万札をｒ人でチャレンジしてつかみ取る方法は何通りですか。

私も同じように多項式を展開した係数で求めることを考えました。
問題３を考えてみます。
１万円札３枚をａ、ａ、ａ、５千円札２枚をｂ、ｂ、２千円札２枚をｃ、ｃとすると、 ここから、ｎ（ｎ＝１から７までの自然数）個を選んで、並べる方法の数です。
ここで、ｎ！（１＋ｘ＋ｘ^２／２！＋ｘ^３／３！）（１＋ｘ＋ｘ^２／２！）（１＋ｘ＋ｘ^２／２！） という多項式を考えます。
ここで、ｎ＝５を考えてみます。計算は「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ」にしてもらいました。

与式	＝｛５！÷（３！２！２！）｝×(６＋６ｘ＋３ｘ２＋ｘ３）(２＋２x＋ｘ２）２
	＝１２０＋３６０ｘ＋５４０ｘ２＋５００ｘ３＋５４０ｘ４＋１３０ｘ５＋３５ｘ６＋５ｘ７

この係数が答えです。
これは、例えば、ａが３つ、ｂが２つ取って並べる方法は、
最初の（　　）からｘ^３／３！、次の（　　）からｘ^２／２！、 最後の（　　　）から、１を選んで、掛け合わせた
５！・ｘ^３／３！・ｘ^２／２！・１＝５！／（３！２！）ｘ^５です。
後は組み合わせて、５取ってくる場合を考えれば良いのです。

1.について
ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）
の１解がαなので，

解と係数の関係から，

(1)に代入すると，

同様に，
Ａｘ^２＋Ｂｘ＋Ｃ＝０（Ａ≠０）
の２解がα＋δ，β＋δなので，

インドの数学事情についての記事はこちら

AERA 2000年12月25日号

箱のところで 「コンパスと定木でできる作図はすべてコンパスのみで作図できる。」 というのがありました。

それについて、以下のことがわかればいいと思います。

1. 与えられた２点を通る直線が引けること。
2. 与えられた点の中心とし、与えられた半径の円を書くこと。
3. ２つの与えられた円の交点を求めること。
4. 与えられた円と与えられた２点で定まる直線との交点を求める。
5. それぞれ与えられた２点で定まる２つの直線の交点を求める。

この作図は置いておいて、今は直線ＡＢをｎ等分をコンパスのみで作図します。
まず、ＡＢをｎ倍します。正三角形を作る要領で、やっていきます。 つまり、３つの正三角形の頂点が集まると１８０度であるのでＡＢの２倍の点が見つかります。 そこでｎ回繰り返すとＡＢのｎ倍の点が見つかります。それをＣとしておきましょう。
次に、長さＡＣで中心Ｃの円を書き、長さＡＢ中心Ａの円との交点をＤ、Ｅとします。
最後にＤ、Ｅ中心で長さＡＤ、ＡＥの円を書き、交点をＸとすると、 これはＡＢの直線上にありＡＸ＝(1/n)ＡＢとなります。 この証明は、ＡＤＣとＡＸＤが相似であることからわかります。

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