コロキウム室

ペルの方程式は京都大学・お茶の水大学・東京女子大学の入試問題に 形を変えて出ていましたので、受験雑誌に解法が載っています。
ｘ^２＝Ｄｙ^２＋１　（Ｄは平方数でない）の最小自然数は 手持ちの平方数表を見ながら、ｙに順次小さい数字を代入していくとでてきます。

Ｄ＝２のとき、（３，２）

Ｄ＝３のとき、（２，１）

Ｄ＝５のとき、（９，４）

Ｄ＝６のとき、（５，２）

Ｄ＝７のとき、（８，３）

Ｄ＝８のとき、（３，１）

Ｄ＝１０のとき、（１９，６）

Ｄ＝１１のとき、（１０，３）

Ｄ＝１２のとき、（７，２）

Ｄ＝１３のとき、（？，？）

Ｄ＝１４のとき、（１５，４）

Ｄ＝１５のとき、（４，１）

Ｄ＝１７のとき、（３３，８）

Ｄ＝１８のとき、（１７，４）

Ｄ＝１９のとき、（？，？）

Ｄ＝２０のとき、（９，２）

Ｄ＝２１のとき、（５５，１２）

Ｄ＝２２のとき、（？，？）

Ｄ＝２３のとき、（２４，５）

Ｄ＝２４のとき、（５，１）

Ｄ＝２６のとき、（５１，１０）

Ｄ＝２７のとき、（２６，５）

Ｄ＝２８のとき、（？，？）

Ｄ＝２９のとき、（？，？）

Ｄ＝３０のとき、（１１，２）

・・・・・

ペル方程式の最小解

ペル方程式の最小解はＤと平方数との差に関係があります。
例えば、

　　Ｄ＝ｋ^２−１のとき（ｋ，１）
　　　　　３（２，１）
　　　　　８（３，１）
　　　　１５（４，１）
　　　　２４（５，１）
　　　　・・・・・・

　　Ｄ＝ｋ^２＋１のとき（２Ｄ−１，２ｋ）
　　　　　２（　３，　２）
　　　　　５（　９，　４）
　　　　１０（１９，　６）
　　　　１７（３３，　８）
　　　　２６（５１，１０）
　　　　・・・・・・

などです。ほかのＤについてはどのような法則があるでしょうか？

「お祝いの問題」　で、下記のようなパスカルの三角形みたいのが得られました。 ここで、コロキウムの「コ」と水の流れの「ミ」をとって、コミカルな三角形と呼びましょう。

ｎ	（１＋ｘ＋ｘ２）ｎの係数
１				１	１	１
２			１	２	３	２	１
３		１	３	６	７	６	３	１
４	１	４	１０	１６	１９	１６	１０	４	１
・・・		・・・		Ｐ（ｎ、ｒ）

この数字をＰ（ｎ、ｒ）で表すことにします。 ただし、ｎ＝０，１，２，３，・・・・、０≦ｒ≦２ｎ　とする。
また、Ｐ（ｎ、０）＝１、Ｐ（ｎ、１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎー１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎ）＝１　とする。 すると、このコミカルの三角形は
Ｐ（ｎ＋１，ｒ）＝ Ｐ（ｎ，ｒ−２）＋Ｐ（ｎ，ｒ−１）＋Ｐ（ｎ，ｒ）　という性質を持っています。
これは、上の段の３つの和として、順に得られますので、トリボナッチ数列にもなります。

第６３回数学的な応募問題

太郎さんは、先日生徒から「ニュートンの２項定理って、何ですか。」と聞かれました。 すぐには答えられませんでしたが、 パスカル（フランス：1623〜1662）の三角形が出てくる２項係数を思い出して、 （ａ＋ｂ）^ｎの２項定理を言いました。ただし、このｎは正の整数です。
しかし、ニュートン（イギリス：1642〜1727）と名前が出ているので、 ２項定理の発見者はニュートンかしらと疑問に思っていました。そこで、文献で調べてみました。

文学、物理学、気象学の分野で多彩な業績を残したパスカルは、数学においても、 数多くの成果をあげています。転がる円盤の一点が描くサイクロイドの研究はや、 フェルマー（フランス：1601〜1665）と共同で行った確率の研究は、特に優れたものです。 パスカルは確率の研究から、２項式の展開（ａ＋ｂ）^ｎにおいて、 係数の規則性を発見しました。 これが、これがいわゆるパスカルの三角形と言われる魔法の三角形です。 多くの人は、ものご存じですので、割愛します。１６５４年に発案しました。

実はこの三角形は中国で古くから知られていました。 朱世傑の著書で１３０３年頃書かれた「四元玉鑑」を見ると、 すでに２項展開したときの係数が書かれています。 これは、高次方程式を解くにあたって使用されていました。 また、ヨーロッパでも１６世紀の数学者、カルダノ（イタリア：1501〜1576）らが知っていて、 ３次行程式や４次方程式の解法に使ったいました。

弱冠２３歳のニューートンが、１６６５年の初めに、 パスカルの発見した「２項定理」の指数ｎを拡張して、 正の整数から、負の整数、分数まで拡げ、無限級数にまで発展させている。 αが任意の実数のとき、（１＋ｘ）^αをベキ級数に展開できる公式を 「ニュートンの２項定理」と言います。 この係数は組み合わせの記号Ｃ（ｎ、ｒ）と書きますが、 ｎが正整数でないと組み合わせの意味がなくなりますが、 ｎ＝α，ｒ＝ｎとして、２項係数は、
α(α-1)(α-2)(α-3）・・・(α-ｎ＋１）／ｎ！＝｛α，ｎ｝と表します。
例えば、α＝−１のとき、１＋ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋・・・＋ｘ^ｎ＋・・・＝１／(１−ｘ)
となることです。

で、いろいろと文献を見て、次のような問題を考えてみました。 まず、３項式（１＋ｘ＋ｘ^２）^ｎの展開係数を見て下さい。
ｎ＝０，１，２，３，４，５，・・・と展開すると、パスカルの三角形は２項式（１＋ｘ）^ｎの展開係数ですが、 似たような奇妙な数列がでてきます。一度見て下さい。 （この三角形をコミカルな三角形と呼びましょう。）

ｎ	（１＋ｘ＋ｘ２）ｎの係数
０						１
１					１	１	１
２				１	２	３	２	１
３			１	３	６	７	６	３	１
４		１	４	１０	１６	１９	１６	１０	４	１
５	１	５	１５	３０	４５	５１	４５	３０	１５	５	１
・・・			・・・		Ｐ（ｎ、ｒ）

この数字をＰ（ｎ、ｒ）で表すことにします。 ただし、ｎ＝０，１，２，３，・・・・、０≦ｒ≦２ｎ　とする。
また、Ｐ（ｎ、０）＝１、Ｐ（ｎ、１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎー１）＝ｎ、Ｐ（ｎ、２ｎ）＝１　とする。
すると、このコミカルの三角形は

Ｐ（ｎ＋１，ｒ）＝ Ｐ（ｎ，ｒ−２）＋Ｐ（ｎ，ｒ−１）＋Ｐ（ｎ，ｒ）

という性質を持っています。

これは、上の段の３つの和として、順に得られますので、トリボナッチ数列にもなります。

ここからが、今回の問題です。次の初項から第ｋ項までの和をｋで表してください。

問題１：Ｔ_１＝１＋１＋１＋・・・＋Ｔ_０　　（ただし、Ｔ_０＝１とする）

問題２：Ｔ_２＝１＋２＋３＋４＋・・・＋Ｔ_１

問題３：Ｔ_３＝１＋３＋６＋10＋・・・＋Ｔ_２

問題４：Ｔ_４＝１＋４＋10＋20＋・・・＋Ｔ_３

問題５：Ｔ_５＝１＋５＋15＋35＋・・・＋Ｔ_４

問題６：一般に、

（ｎ＝１，２，３，・・・、ただし、Ｔ_０＝１とする）

さて、最後に問題７： この展開を拡張して、多項式（１＋ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋・・・）^ｎ の展開係数を考えてください。

極方程式　ｒ＝ｆ（θ）において、これを１回微分した導関数は一体何を意味しますか。
この極方程式で与えられた曲線の極値の求め方はどうするのでしょう。
また、２回微分した導関数は一体何を意味しますか。
この極方程式で与えられた曲線の凹凸の求め方はどうするのでしょう。

この数列は２変数数列（そんな言葉があるのかなあ？）としてとらえなければいけないのかなと思います。
つまり、

問題１：Ｔ_{（１，ｋ）} ＝Ｔ_{（０，１）}＋Ｔ_{（０，２）}＋・・・＋Ｔ_{（０，ｋ）} ＝１＋１＋１＋・・・＋Ｔ_{（０，ｋ）}　

　　　　　　　　（ただし、任意のｋについて、Ｔ_{（０，ｋ）}＝１とする）

問題２：Ｔ_{（２，ｋ）} ＝Ｔ_{（１，１）}＋Ｔ_{（１，２）}＋・・・＋Ｔ_{（１，ｋ）} ＝１＋２＋３＋４＋・・・＋Ｔ_{（１，ｋ）}

問題３：Ｔ_{（３，ｋ）} ＝Ｔ_{（２，１）}＋Ｔ_{（２，２）}＋・・・＋Ｔ_{（２，ｋ）} ＝１＋３＋６＋10＋・・・＋Ｔ_{（２，ｋ）}

問題４：Ｔ_{（４，ｋ）} ＝Ｔ_{（３，１）}＋Ｔ_{（３，２）}＋・・・＋Ｔ_{（３，ｋ）} ＝１＋４＋10＋20＋・・・＋Ｔ_{（３，ｋ）}

問題５：Ｔ_{（５，ｋ）} ＝Ｔ_{（４，１）}＋Ｔ_{（４，２）}＋・・・＋Ｔ_{（４，ｋ）} ＝１＋５＋15＋35＋・・・＋Ｔ_{（４，ｋ）}

問題６：一般に、

さて改めて、

問題１：Ｔ（１，ｋ）	＝Ｔ（０，１）＋Ｔ（０，２）＋・・・＋Ｔ（０，ｋ）
	＝１＋１＋１＋・・・＋Ｔ（０，ｋ）
	＝ｋ

問題２：

問題３：

問題４：

以上のことから、一般に

となることが予想されます。

以下では、Ｔ_ｎ＝Ｔ_ｎ(ｋ)のように書く。

問題１．

Ｔ_１(ｋ)＝１＋１＋１＋１＋・・・＋１＝ｋ

問題２．

問題３．

ここで、問題６の解答として次の予想が立つ。

(1)が成り立つのを証明する。初めに次の補題を示す。

証明．帰納法で示す。

i)ｋ＝１のとき

より成立。

ii)ｋ→ｋ＋１

となり成立。

補題１を用いて(1)を証明する。

証明．帰納法で示す。

i)ｎ＝１のときは問題１より成立

ii)ｎ→ｎ＋１

となり、成立。

以上の考察より、以下の解を得る。

問題７．

証明．帰納法で示す。

i)ｎ＝１のとき

より成立。

ii)ｎ→ｎ＋１

となり、成立。

第６４回数学的な応募問題

太郎さんは、本を読んでいると、図形数＝ｍ画数の話がでてきます。 古くは、ピタゴラスとその学派に人々が研究した最初に人々であった。 ここでは、図形数の数列の一般項を考えてみます。

『１』三角数：下の図のように○を並べると、 １，３，６，１０，１５，・・・という数列ができます。
このように正三角形をなす数を三角数と呼び、 第ｎ番目の三角数をＳ（３，ｎ）と書くことにします。

『２』四角数：下の図のように○を並べると、 １，４，９，１６，２５，・・・という数列ができます。
このように正方形をなす数を四角数と呼び、 第ｎ番目の四角数をＳ（４，ｎ）と書くことにします。 この四角数は別名平方数とも言います。

『３』五角数：下の図のように○を並べると、 １，５，１２，２２，３５，・・・という数列ができます。
このように正五角形をなす数を五角数と呼び、 第ｎ番目の五角数をＳ（５，ｎ）と書くことにします。

『４』六角数：１，６，１５，２８，４５，・・・という数列があります。
これを六角数と呼び、今までと同様に正六角形を順に作ることができます。 この第ｎ番目の六角数をＳ（６，ｎ）と書くことにします

さて、一般に、ｍ画数：１，ｍ、３ｍ−３，６ｍ−８，・・・という数列が得られます。
これをｍ画数と呼び、今までと同様に正ｍ角形を順に作ることができます。
この第ｎ番目のｍ角数をＳ（ｍ，ｎ）と書くことにします

また、歴史的には、フェルマー（フランス：1601〜1665）が、 バシェ版のディオファントスの【算術】に「すべての自然数はｍ個のｍ画数で表される。」 と書き込んでいます。さらに、ドイツの大数学者ガウス(1777〜1855)も彼が１９歳の時に 「あらゆる正の整数は高々３個の三角数の和として表される」ことを見つけています。

ここからが、今回の問題です。この数列の一般項をｎで表してください。

問題１：Ｓ（３，ｎ）：１、３，６，１０，１５，・・・

問題２：Ｓ（４，ｎ）：１，４，９，１６，２５，・・・

問題３：Ｓ（５，ｎ）：１，５，１２，２２，３５，・・・

題４：Ｓ（６，ｎ）：１，６，１５，２８，４５，・・・

問題５：一般に、Ｓ（ｍ，ｎ）：１，ｍ、３ｍ−３，６ｍ−８，・・・

生徒からこんな問題を出されました。

	□	□
×		□
	□	□
＋	□	□
	□	□

上の図の□の中に１〜９の数字を重ならないように並べ正しい計算をしなさい。
但し、０は使用できません。

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